para cada uma das condições de contorno dadas a seguir, resolva para o deslocamento y(x) e faça o gráfico de y em função de x, no caso em que L=1 e k=-1: (c) Preso em x=0, livre em x=L: y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(L)=y^prime prime prime(L)=0çõçáçã

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver o deslocamento de uma estrutura sujeita a certas condições de contorno. Estamos trabalhando com o comprimento e . O conteúdo aqui é de equações diferenciais aplicadas a estruturas, especialmente usando condições de contorno para encontrar a solução. Para resolver, vamos precisar aplicar as condições dadas e resolver a equação diferencial correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que descreve o sistema. Geralmente, para problemas de flexão de vigas, temos uma equação da forma:
y''''(x) = k y(x)
Com y''''(x) = -y(x) , a equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. A equação característica associada é:
r^4 + 1 = 0
Resolvendo para r = pm raiz22 pm raiz22i :
y(x) = C1 cos(raiz22 x) + C2 sin(raiz22 x) + C3 cosh(raiz22 x) + C4 sinh(raiz22 x)
Isso nos dá a solução geral:

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes C1 + C3 = 0 Rightarrow C1 = -C3 :
  1. raiz22 C2 + raiz22 C4 = 0 Rightarrow C2 = -C4 :
y(x) = 0
  1. :
  1. e :
Após derivar duas e três vezes e substituir , resolvemos o sistema de equações para encontrar que todas as constantes são iguais a zero. Isso sugere que a única solução trivial é:

Resposta

A solução para o deslocamento é para todos os no intervalo [0, 1].

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