Dado que
, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em várias direções, usando gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de
no ponto dado e também transformar o vetor direção em um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, o gradiente de
no ponto
já foi fornecido:
. O gradiente nos dá as direções de maior aumento da função e é essencial para calcular a derivada direcional.
Passo 3
Agora, precisamos trabalhar com o vetor direção
. Para encontrar a derivada direcional, é importante que esse vetor seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Vamos calcular o comprimento de
:
Passo 4
Com o comprimento, transformamos
em um vetor unitário
:
Passo 5
A fórmula para a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção de
é
.
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Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano
.
.