Dado que , determine a derivada direcional da função no ponto na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em várias direções, usando gradientes. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de no ponto dado e também transformar o vetor direção em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, o gradiente de no ponto já foi fornecido: . O gradiente nos dá as direções de maior aumento da função e é essencial para calcular a derivada direcional.

Passo 3

Agora, precisamos trabalhar com o vetor direção . Para encontrar a derivada direcional, é importante que esse vetor seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Vamos calcular o comprimento de :

Passo 4

Com o comprimento, transformamos em um vetor unitário :

Passo 5

A fórmula para a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .