Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os **autovalores** e **autofunções** para a equação diferencial dada com condições de contorno. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Precisaremos usar conhecimentos de resolução de EDOs e aplicar as condições de contorno para determinar os valores de que permitem soluções não triviais, ou seja, autofunções diferentes de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial fornecida:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 5
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno . Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando a condição de contorno:
Para que isso seja verdade, ou ou .
Passo 6
Vamos considerar os dois casos:
1. **Caso :**
A solução se torna:
Aplicando a segunda condição de contorno :
Isso resulta na solução trivial , que não nos dá informação sobre eigenvalores ou autofunções não triviais.
2. **Caso :**
A equação diferencial original se simplifica para:
Integrando duas vezes:
Aplicando e , novamente obtemos a solução trivial .
Passo 7
Como ambos os casos levam apenas à solução trivial, concluímos que não existem valores de que permitam soluções não triviais para este problema de valores de contorno. Em outras palavras, não há autovalores e autofunções não triviais para a equação diferencial dada com as condições de contorno especificadas.
Resposta
Não existem autovalores e autofunções não triviais para o problema de valores de contorno dado.
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