Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os autovalores e autofunções para a equação diferencial dada com condições de contorno. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Precisaremos usar conhecimentos de resolução de EDOs e aplicar as condições de contorno para determinar os valores de
que permitem soluções não triviais, ou seja, autofunções diferentes de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial fornecida:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
é a primeira derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvemos a equação característica:
Isso nos dá duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 5
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno
. Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando a condição de contorno:
Para que isso seja verdade, ou
ou
.
Passo 6
Vamos considerar os dois casos:
-
Caso
:
A solução se torna:Aplicando a segunda condição de contorno: Isso resulta na solução trivial, que não nos dá informação sobre eigenvalores ou autofunções não triviais. -
Caso
:
A equação diferencial original se simplifica para:Integrando duas vezes:Aplicandoe , novamente obtemos a solução trivial .
Passo 7
Como ambos os casos levam apenas à solução trivial, concluímos que não existem valores de
que permitam soluções não triviais para este problema de valores de contorno. Em outras palavras, não há autovalores e autofunções não triviais para a equação diferencial dada com as condições de contorno especificadas.
Resposta
Não existem autovalores e autofunções não triviais para o problema de valores de contorno dado.