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Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os **autovalores** e **autofunções** para a equação diferencial dada com condições de contorno. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Precisaremos usar conhecimentos de resolução de EDOs e aplicar as condições de contorno para determinar os valores de que permitem soluções não triviais, ou seja, autofunções diferentes de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial fornecida: Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial, temos: Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvemos a equação característica: Isso nos dá duas raízes: Portanto, a solução geral da equação diferencial é: onde e são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 5

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno . Primeiro, encontramos a derivada de : Aplicando a condição de contorno: Para que isso seja verdade, ou ou .

Passo 6

Vamos considerar os dois casos: 1. **Caso :** A solução se torna: Aplicando a segunda condição de contorno : Isso resulta na solução trivial , que não nos dá informação sobre eigenvalores ou autofunções não triviais. 2. **Caso :** A equação diferencial original se simplifica para: Integrando duas vezes: Aplicando e , novamente obtemos a solução trivial .

Passo 7

Como ambos os casos levam apenas à solução trivial, concluímos que não existem valores de que permitam soluções não triviais para este problema de valores de contorno. Em outras palavras, não há autovalores e autofunções não triviais para a equação diferencial dada com as condições de contorno especificadas.

Resposta

Não existem autovalores e autofunções não triviais para o problema de valores de contorno dado.

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