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Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função chamada , e a gente precisa descobrir se essa função é periódica. Se for, a gente também precisa encontrar qual é o período fundamental dela. Vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades das funções hiperbólicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica se existe um número tal que, para todo , vale que . Esse número é chamado de período da função. O menor valor positivo de que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função hiperbólica . A função hiperbólica seno é definida por:
Essa função é similar ao seno trigonométrico, mas com propriedades diferentes.

Passo 4

Para uma função ser periódica, ela precisa repetir seus valores em intervalos regulares. Vamos verificar se isso acontece com . Vamos tentar encontrar um período tal que:
Usando a definição de , temos:
Simplificando:

Passo 5

Para que a igualdade acima seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos leva ao sistema:
A única solução para essas equações é , mas o período deve ser um número positivo diferente de zero.

Passo 6

Como não existe nenhum valor positivo de que satisfaça a equação acima, concluímos que a função não é periódica.

Resposta

A função não é periódica.

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Dado que , determine a derivada direcional da função no ponto na direção de .
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