Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função chamada
, e a gente precisa descobrir se essa função é periódica. Se for, a gente também precisa encontrar qual é o período fundamental dela. Vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades das funções hiperbólicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica se existe um número
tal que, para todo
, vale que
. Esse número
é chamado de período da função. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função hiperbólica
. A função hiperbólica seno é definida por:
Essa função é similar ao seno trigonométrico, mas com propriedades diferentes.
Passo 4
Para uma função ser periódica, ela precisa repetir seus valores em intervalos regulares. Vamos verificar se isso acontece com
. Vamos tentar encontrar um período
tal que:
Usando a definição de
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Para que a igualdade acima seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais em ambos os lados. Isso nos leva ao sistema:
A única solução para essas equações é
, mas o período deve ser um número positivo diferente de zero.
Passo 6
Como não existe nenhum valor positivo de
que satisfaça a equação acima, concluímos que a função
não é periódica.
Resposta
A função
não é periódica.
Exercícios relacionados
Dado que
, determine a derivada direcional da função
no ponto
na direção de
.