Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções da equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Além disso, precisamos descobrir em qual intervalo essas funções formam um conjunto fundamental de soluções usando o wronskiano. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e o wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Agora, substituímos , e na EDO:
Então, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora vamos verificar se também é uma solução da EDO. Novamente, precisamos das derivadas de .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:
Substituindo , e na EDO:
Portanto, também satisfaz a EDO.

Passo 4

Agora que confirmamos que ambas as funções são soluções da EDO, vamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, usamos o wronskiano, que é uma ferramenta que nos diz se duas funções são linearmente independentes no intervalo considerado.
O wronskiano é definido por:
Vamos calcular:

Passo 5

Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o wronskiano deve ser diferente de zero em algum intervalo. Observando o wronskiano calculado:
Como nunca é zero para qualquer valor real de , o wronskiano é sempre diferente de zero em todo o domínio real. Isso significa que e são linearmente independentes em todo o intervalo real.

Resposta

As funções e são soluções da equação diferencial e formam um conjunto fundamental de soluções em todo o intervalo , já que o wronskiano é diferente de zero para todo real.

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Determine a derivada direcional de em na direção e sentido do eixo negativo.
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