Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que é uma cônica:
. Nosso objetivo aqui é descobrir o foco, a reta diretriz (já que é uma parábola) e as assíntotas (se for uma hipérbole). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os elementos característicos das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Queremos deixar os termos em ordem para identificar se é uma parábola, elipse ou hipérbole.
Começamos com:
Vamos trazer tudo para um lado da equação:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para transformar a expressão em uma forma que a gente possa identificar facilmente os elementos da parábola.
Para completar o quadrado em
, pegamos metade do coeficiente de
, que é 4, e elevamos ao quadrado, ficando 16.
Então:
Passo 4
Agora, a equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita, que é:
Aqui,
é o vértice da parábola, e
é a distância do vértice ao foco.
Comparando com a nossa equação:
-
-
-
então
Passo 5
Agora, vamos encontrar o foco e a reta diretriz usando os valores de
,
e
.
- Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está
unidades à direita do vértice.
- Reta Diretriz: É uma linha vertical
unidades à esquerda do vértice.
Passo 6
Como identificamos que a equação representa uma parábola e não uma hipérbole, não precisamos calcular assíntotas.
Resposta
- Foco:
- Reta diretriz:
- Assíntotas: Não aplicável, pois é uma parábola.