Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole). 2 x=y^2+8 y+22

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que é uma cônica: . Nosso objetivo aqui é descobrir o foco, a reta diretriz (já que é uma parábola) e as assíntotas (se for uma hipérbole). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica, como completar o quadrado e identificar os elementos característicos das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Queremos deixar os termos em ordem para identificar se é uma parábola, elipse ou hipérbole.
Começamos com:
2x = y^2 + 8y + 22
Vamos trazer tudo para um lado da equação:
y^2 + 8y = 2x - 22

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para transformar a expressão em uma forma que a gente possa identificar facilmente os elementos da parábola.
Para completar o quadrado em y^2 + 8y + 16 = 2x - 22 + 16, pegamos metade do coeficiente de (y + 4)^2 = 2x - 6 , que é 4, e elevamos ao quadrado, ficando 16.
Então:

Passo 4

Agora, a equação está na forma:
(y + 4)^2 = 2(x - 3)
Essa é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita, que é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, é o vértice da parábola, e é a distância do vértice ao foco.
Comparando com a nossa equação:
  • então

Passo 5

Agora, vamos encontrar o foco e a reta diretriz usando os valores de Foco = (h + p, k) = (3 + 12, -4) = (72, -4) , Reta diretriz: x = h - p = 3 - 12 = 52 e .
  • Foco: Como a parábola abre para a direita, o foco está unidades à direita do vértice.
  • Reta Diretriz: É uma linha vertical unidades à esquerda do vértice.

Passo 6

Como identificamos que a equação representa uma parábola e não uma hipérbole, não precisamos calcular assíntotas.

Resposta

  • Foco:
  • Reta diretriz:
  • Assíntotas: Não aplicável, pois é uma parábola.

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