Seja
e
uma matriz fixa desse espaço vetorial. O operador
dado por
é linear? E quanto ao operador
dado por
? É verdade que
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
com entradas reais. Nós temos duas funções (operadores) definidas nesse espaço:
-
-
Queremos saber se esses operadores são lineares e seé igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como verificar a linearidade dessas funções.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é um operador linear. Um operador
é linear se satisfaz duas condições para quaisquer matrizes
e qualquer escalar
:
Vamos verificar a primeira condição:
Agora, a segunda condição:
Como ambas as condições são satisfeitas,
é um operador linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um operador linear usando as mesmas duas condições.
Primeiro, verificando a aditividade:
Em seguida, a homogeneidade:
Portanto,
também satisfaz as duas condições de linearidade e é, portanto, um operador linear.
Passo 4
Finalmente, precisamos verificar se
. Para que
seja igual a
, as duas funções devem dar o mesmo resultado para toda matriz
:
Para que
para toda
, a matriz
deve comutar com todas as matrizes de
. No entanto, isso só acontece se
for uma matriz escalar (multiplicação por um número vezes a matriz identidade). Em geral, para uma matriz
qualquer, não temos
. Portanto,
e
não são iguais a menos que
seja uma matriz escalárion.
Resposta
Os operadores
e
são lineares, mas
não é igual a
a menos que
seja uma matriz escalar. Portanto,
em geral.