Seja V=Mn(R) e B uma matriz fixa desse espaço vetorial. O operador f: V V dado por f(X)=B X é linear? E quanto ao operador g: V V dado por g(X)=X B ? É verdade que f=g ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem com entradas reais. Nós temos duas funções (operadores) definidas nesse espaço:

  • Queremos saber se esses operadores são lineares e se é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como verificar a linearidade dessas funções.

Passo 2

Vamos começar verificando se f(X + Y) = B(X + Y) = B X + B Y = f(X) + f(Y) é um operador linear. Um operador f(cX) = B(cX) = c(B X) = c f(X) é linear se satisfaz duas condições para quaisquer matrizes e qualquer escalar :
Vamos verificar a primeira condição:
Agora, a segunda condição:
Como ambas as condições são satisfeitas, é um operador linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se g(X + Y) = (X + Y)B = X B + Y B = g(X) + g(Y) é um operador linear usando as mesmas duas condições.
Primeiro, verificando a aditividade:
g(cX) = (cX)B = c(X B) = c g(X)
Em seguida, a homogeneidade:
Portanto, também satisfaz as duas condições de linearidade e é, portanto, um operador linear.

Passo 4

Finalmente, precisamos verificar se f(X) = B X . Para que g(X) = X B seja igual a , as duas funções devem dar o mesmo resultado para toda matriz :
Para que para toda , a matriz deve comutar com todas as matrizes de . No entanto, isso só acontece se for uma matriz escalar (multiplicação por um número vezes a matriz identidade). Em geral, para uma matriz qualquer, não temos . Portanto, e não são iguais a menos que seja uma matriz escalárion.

Resposta

Os operadores e são lineares, mas não é igual a a menos que seja uma matriz escalar. Portanto, em geral.

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