Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole). 4 x^2+y^2=16

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos identificar qual é a cônica representada por essa equação. Além disso, devemos encontrar os focos, a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole). Para isso, vamos precisar lembrar das formas padrão das cônicas e como identificar seus elementos principais.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação dada de forma que possamos identificar claramente a cônica. Dividindo ambos os lados da equação por 16, temos:
4x^216 + y^216 = 1616
Simplificando, fica:
x^24 + y^216 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse. A forma geral de uma elipse é:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. No nosso caso, o centro é na origem , e .

Passo 3

Identificamos que c = raiza^2 - b^2 , então c = raiz16 - 4 = raiz12 = 2raiz3 , e , então . Em uma elipse, a distância dos focos ao centro é dada por , onde:
Vamos calcular :

Passo 4

Agora que temos o valor de (0, c) = (0, 2raiz3) , podemos determinar as coordenadas dos focos. Como (0, -c) = (0, -2raiz3) e a variável está associada a , a elipse está alongada no eixo . Portanto, os focos estarão posicionados ao longo do eixo a uma distância do centro.
Assim, as coordenadas dos focos são:

Passo 5

Como estamos lidando com uma elipse, não temos reta diretriz nem assíntotas. As retas diretrizes são características das parábolas, e as assíntotas são características das hipérboles. Portanto, para esta elipse, apenas os focos são relevantes.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma elipse com centro na origem . Os focos dessa elipse estão localizados nos pontos e . Não há reta diretriz nem assíntotas para esta elipse.

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