Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos identificar qual é a cônica representada por essa equação. Além disso, devemos encontrar os focos, a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole). Para isso, vamos precisar lembrar das formas padrão das cônicas e como identificar seus elementos principais.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação dada de forma que possamos identificar claramente a cônica. Dividindo ambos os lados da equação por 16, temos:
Simplificando, fica:
Essa é a forma padrão de uma elipse. A forma geral de uma elipse é:
onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. No nosso caso, o centro é na origem
,
e
.
Passo 3
Identificamos que
, então
, e
, então
. Em uma elipse, a distância dos focos ao centro é dada por
, onde:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos determinar as coordenadas dos focos. Como
e a variável
está associada a
, a elipse está alongada no eixo
. Portanto, os focos estarão posicionados ao longo do eixo
a uma distância
do centro.
Assim, as coordenadas dos focos são:
Passo 5
Como estamos lidando com uma elipse, não temos reta diretriz nem assíntotas. As retas diretrizes são características das parábolas, e as assíntotas são características das hipérboles. Portanto, para esta elipse, apenas os focos são relevantes.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma elipse com centro na origem
. Os focos dessa elipse estão localizados nos pontos
e
. Não há reta diretriz nem assíntotas para esta elipse.