Esboce a curva dada pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva representada pela equação
. Estamos lidando com seções cônicas, especificamente uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis
e
para colocar a equação numa forma mais fácil de analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis
e
. Isso ajuda a transformar a equação numa forma padrão de uma elipse ou hipérbole.
Para
:
- Fatore o coeficiente de
: - Complete o quadrado dentro dos parênteses:
- Substitua de volta:
Para
:
- Fatore o coeficiente de
: - Complete o quadrado dentro dos parênteses:
- Substitua de volta:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Dividindo ambos os lados por 6 para obter a forma padrão:
Passo 5
Essa é a forma padrão de uma elipse:
Comparando com nossa equação:
- Centro da elipse:
-
então -
então
Resposta
A curva dada pela equação
é uma elipse com centro no ponto
. Os eixos da elipse têm comprimentos
(horizontal) e
(vertical). Para esboçar, plote o centro, marque os pontos dos eixos a partir dele e desenhe a elipse seguindo esses parâmetros.