Esboce a curva dada pela equação: 3 x^2+2 y^2+18 x-8 y+29=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva representada pela equação . Estamos lidando com seções cônicas, especificamente uma elipse ou hipérbole, dependendo dos coeficientes. Para resolver, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis e para colocar a equação numa forma mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 3x^2 + 18x + 2y^2 - 8y + 29 = 0 e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis 3(x^2 + 6x) + 2y^2 - 8y + 29 = 0 e x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. Isso ajuda a transformar a equação numa forma padrão de uma elipse ou hipérbole.
Para 3[(x + 3)^2 - 9] + 2y^2 - 8y + 29 = 0:
  1. Fatore o coeficiente de 3(x + 3)^2 - 27 + 2y^2 - 8y + 29 = 0: 3(x + 3)^2 + 2(y^2 - 4y) - 27 + 29 = 0
  2. Complete o quadrado dentro dos parênteses: y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
  3. Substitua de volta: 3(x + 3)^2 + 2[(y - 2)^2 - 4] - 27 + 29 = 0 3(x + 3)^2 + 2(y - 2)^2 - 8 - 27 + 29 = 0
Para :
  1. Fatore o coeficiente de :
  2. Complete o quadrado dentro dos parênteses:
  3. Substitua de volta:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
3(x + 3)^2 + 2(y - 2)^2 - 8 - 27 + 29 = 0
3(x + 3)^2 + 2(y - 2)^2 - 6 = 0
3(x + 3)^2 + 2(y - 2)^2 = 6
Dividindo ambos os lados por 6 para obter a forma padrão:
(x + 3)^22 + (y - 2)^23 = 1

Passo 5

Essa é a forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação:
  • Centro da elipse:
  • então
  • então

Resposta

A curva dada pela equação é uma elipse com centro no ponto . Os eixos da elipse têm comprimentos (horizontal) e (vertical). Para esboçar, plote o centro, marque os pontos dos eixos a partir dele e desenhe a elipse seguindo esses parâmetros.

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