Determine o domínio das funções vetoriais abaixo :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial:
Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais, que são como “vetores” cujas componentes são funções de uma variável, no caso,
. O domínio dessa função será o conjunto de todos os valores de
para os quais todas as componentes da função estão definidas.
Passo 2
Vamos analisar cada componente da função para descobrir onde elas estão bem definidas.
-
Primeira componente:
- Essa é uma função polinomial, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Ou seja, não impõe restrições ao domínio.
-
Segunda componente:
- A raiz quadrada de um número só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero.
- Então,
.
-
Terceira componente:
- Novamente, a raiz quadrada está definida quando o que está dentro é não negativo.
- Portanto,
.
Passo 3
Agora, juntando as restrições que encontramos:
- Da segunda componente:
- Da terceira componente:
Para que a função vetorial esteja bem definida, todas as componentes precisam estar definidas simultaneamente. Então, o valor de
precisa satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos representar essas condições em uma linha numérica:
Isso significa que
pode ser qualquer número entre 1 e 5, inclusive os próprios 1 e 5, já que as desigualdades são iguais ou maiores.
Resposta
O domínio da função vetorial
é o conjunto de todos os números reais
tais que:
Ou seja,
pertence ao intervalo
.