Determine o domínio das funções vetoriais abaixo :
r(t)=lang<=t^2, raizt-1, raiz5-t>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função vetorial:
r(t)=lang<=t^2, raizt-1, raiz5-trang<=
Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais, que são como “vetores” cujas componentes são funções de uma variável, no caso, . O domínio dessa função será o conjunto de todos os valores de para os quais todas as componentes da função estão definidas.

Passo 2

Vamos analisar cada componente da função para descobrir onde elas estão bem definidas.
  1. Primeira componente:
    • Essa é uma função polinomial, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Ou seja, não impõe restrições ao domínio.
  2. Segunda componente:
    • A raiz quadrada de um número só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero.
    • Então, .
  3. Terceira componente:
    • Novamente, a raiz quadrada está definida quando o que está dentro é não negativo.
    • Portanto, .

Passo 3

Agora, juntando as restrições que encontramos:
  • Da segunda componente:
  • Da terceira componente:
Para que a função vetorial esteja bem definida, todas as componentes precisam estar definidas simultaneamente. Então, o valor de precisa satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos representar essas condições em uma linha numérica:
1 <= t <= 5
Isso significa que pode ser qualquer número entre 1 e 5, inclusive os próprios 1 e 5, já que as desigualdades são iguais ou maiores.

Resposta

O domínio da função vetorial 1 <= t <= 5 é o conjunto de todos os números reais tais que:
Ou seja, pertence ao intervalo .

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