Identifique, faça um esboço e de uma representação paramétrica para as seguintes equações no R^2 :
2 x^2+5 y^2=10

Passo 1

Beleza! Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você recebeu a equação e precisa:
  1. Identificar que tipo de curva ela representa.
  2. Fazer um esboço dessa curva.
  3. Escrever uma representação paramétrica para ela.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Vamos precisar entender como identificar essas curvas e como parametrizá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é representada pela equação x^25 + y^22 = 1 .
Vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Essa forma é a equação geral de uma elipse, onde os denominadores correspondem aos quadrados dos semi-eixos. Então, sabemos que estamos lidando com uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos fazer um esboço da elipse. Para isso, precisamos determinar os semi-eixos da elipse.
Na forma :
  • é o comprimento do semi-eixo maior.
  • é o comprimento do semi-eixo menor.
Comparando com a nossa equação :
  • então
  • então
Isso significa que a elipse tem um semi-eixo maior de na direção do eixo e um semi-eixo menor de na direção do eixo .

Passo 4

Vamos agora esboçar a elipse com base nos semi-eixos que encontramos.
  1. No centro das coordenadas (0,0), desenhe o eixo e o eixo .
  2. Marque os pontos e no eixo .
  3. Marque os pontos e no eixo .
  4. Desenhe a elipse passando por esses pontos, formando uma curva suave que conecta todos eles.
Isso nos dá uma ideia visual de como a elipse se parece no plano .

Passo 5

Por último, vamos encontrar uma representação paramétrica para a elipse. A forma paramétrica de uma elipse centrada na origem é dada por:
x = a cos(t) y = b sin(t)
onde x = raiz5 cos(t) y = raiz2 sin(t) é o parâmetro que varia de a .
Substituindo os valores de e que encontramos:
Essa é a representação paramétrica da elipse dada pela equação .

Resposta

A representação paramétrica da elipse é:
x = raiz5 cos(t) y = raiz2 sin(t) para t in [0, 2pi]

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