Identifique, faça um esboço e de uma representação paramétrica para as seguintes equações no
:
Passo 1
Beleza! Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Você recebeu a equação
e precisa:
- Identificar que tipo de curva ela representa.
- Fazer um esboço dessa curva.
- Escrever uma representação paramétrica para ela.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas como elipses, hipérboles e parábolas. Vamos precisar entender como identificar essas curvas e como parametrizá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de curva é representada pela equação
.
Vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Essa forma é a equação geral de uma elipse, onde os denominadores correspondem aos quadrados dos semi-eixos. Então, sabemos que estamos lidando com uma elipse.
Passo 3
Agora, vamos fazer um esboço da elipse. Para isso, precisamos determinar os semi-eixos da elipse.
Na forma
:
-
é o comprimento do semi-eixo maior. -
é o comprimento do semi-eixo menor.
Comparando com a nossa equação
:
-
então -
então
Isso significa que a elipse tem um semi-eixo maior de
na direção do eixo
e um semi-eixo menor de
na direção do eixo
.
Passo 4
Vamos agora esboçar a elipse com base nos semi-eixos que encontramos.
- No centro das coordenadas (0,0), desenhe o eixo
e o eixo . - Marque os pontos
e no eixo . - Marque os pontos
e no eixo . - Desenhe a elipse passando por esses pontos, formando uma curva suave que conecta todos eles.
Isso nos dá uma ideia visual de como a elipse se parece no plano
.
Passo 5
Por último, vamos encontrar uma representação paramétrica para a elipse. A forma paramétrica de uma elipse centrada na origem é dada por:
onde
é o parâmetro que varia de
a
.
Substituindo os valores de
e
que encontramos:
Essa é a representação paramétrica da elipse dada pela equação
.
Resposta
A representação paramétrica da elipse é: