Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole). x^2=4 y-2 y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o foco (ou focos), a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole) da cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar os conhecimentos sobre as diferentes cônicas (elipse, parábola e hipérbole) e suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Vamos reescrever a equação para facilitar essa identificação.
A equação original é:
x^2 = 4 y - 2 y^2
Vamos reorganizar os termos:
2 y^2 - 4 y + x^2 = 0

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para o termo de 2(y^2 - 2 y) + x^2 = 0 . Colocamos os termos de 2(y^2 - 2 y + 1) + x^2 = 2 juntos:
2(y - 1)^2 + x^2 = 2
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Isso resulta em:

Passo 4

Dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
(y - 1)^21 + x^22 = 1
Essa é a forma padrão da equação de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • Centro da elipse:
  • é o semi-eixo maior
  • é o semi-eixo menor
Comparando com nossa equação:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 5

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
c = raiz2 - 1 = 1
Então, os focos estão localizados a uma distância (0 + 1, 1) = (1, 1) do centro ao longo do eixo maior (no eixo (0 - 1, 1) = (-1, 1) ):
Focos:

Resposta

A elipse tem dois focos nos pontos e . Não possui reta diretriz nem assíntotas.

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