Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o foco (ou focos), a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole) da cônica dada pela equação
. Para isso, vamos usar os conhecimentos sobre as diferentes cônicas (elipse, parábola e hipérbole) e suas características.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Vamos reescrever a equação para facilitar essa identificação.
A equação original é:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado para o termo de
. Colocamos os termos de
juntos:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Isso resulta em:
Passo 4
Dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
Essa é a forma padrão da equação de uma elipse:
Onde:
- Centro da elipse:
-
é o semi-eixo maior -
é o semi-eixo menor
Comparando com nossa equação:
- Centro:
-
então -
então
Passo 5
Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula:
Então, os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (no eixo
):
Focos:
Resposta
A elipse
tem dois focos nos pontos
e
. Não possui reta diretriz nem assíntotas.