Determine vértice, foco, diretriz e faça esboço da parábola:
y^2=8 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação de uma parábola: . Precisamos encontrar o vértice, o foco, a diretriz e fazer um esboço dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as características das parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. A equação geral da parábola na forma tem o vértice em . Comparando com a nossa equação , percebemos que e . Portanto, o vértice é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de p = 84 = 2 . Na equação , comparando com , temos . Resolvendo para :
O valor de nos ajuda a determinar o foco e a diretriz da parábola.

Passo 4

O foco da parábola está localizado a uma distância F = (h + p, k) = (0 + 2, 0) = (2, 0) do vértice na direção em que a parábola se abre. Como nossa parábola está na direção positiva de , o foco será:

Passo 5

A diretriz é uma reta que fica a uma distância x = h - p = 0 - 2 = -2 do vértice, na direção oposta à abertura da parábola. Como a parábola se abre para a direita, a diretriz estará à esquerda do vértice. Assim, a equação da diretriz é:

Passo 6

Agora, vamos fazer um esboço da parábola com as informações obtidas:
  1. Vértice em .
  2. Foco em .
  3. Diretriz na reta .
A parábola se abre para a direita, já que o coeficiente de é positivo.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Esboço: Uma parábola com vértice na origem, abrindo para a direita, com o foco em e a diretriz na reta .

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