Identifique, faça um esboço e de uma representação paramétrica para as seguintes equações no R^2 :
3 x^2-12 y^2=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O que a questão pede é para identificar o tipo de curva representada pela equação no plano , fazer um esboço dessa curva e encontrar uma representação paramétrica dela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as seções cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação da curva. Dividindo todos os termos por 12, temos:
3x^212 - 12y^212 = 1212
Simplificando:
x^24 - y^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a forma da equação (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 . Isso se parece com a equação padrão de uma hipérbole, que é:
Onde é o centro da hipérbole. No nosso caso, e , então o centro é na origem.

Passo 4

Comparando as duas equações, vemos que e . Portanto, e . Isso significa que a hipérbole se abre horizontalmente, pois o termo positivo está associado a .

Passo 5

Para esboçar a hipérbole, precisamos desenhar o centro na origem , traçar as assinaturas e para determinar os vértices e as assimptotas. Os vértices estarão a uma distância do centro ao longo do eixo , ou seja, em e .

Passo 6

As assíntotas da hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima quando tende ao infinito. A inclinação das assíntotas para uma hipérbole horizontal é dada por . No nosso caso, , então as assíntotas são as retas e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a representação paramétrica da hipérbole. Para a hipérbole x = a sec(t) , as equações paramétricas são:
y = b tan(t)
Onde é um parâmetro real.

Passo 8

Substituindo os valores de x = 2 sec(t) e y = tan(t) que encontramos ( e ), temos:

Resposta

A equação x = 2 sec(t) representa uma hipérbole centrada na origem, com v��rtices em y = tan(t) e . A representação paramétrica dessa hipérbole é:

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