Identifique, faça um esboço e de uma representação paramétrica para as seguintes equações no
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O que a questão pede é para identificar o tipo de curva representada pela equação
no plano
, fazer um esboço dessa curva e encontrar uma representação paramétrica dela. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as seções cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação da curva. Dividindo todos os termos por 12, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos analisar a forma da equação
. Isso se parece com a equação padrão de uma hipérbole, que é:
Onde
é o centro da hipérbole. No nosso caso,
e
, então o centro é na origem.
Passo 4
Comparando as duas equações, vemos que
e
. Portanto,
e
. Isso significa que a hipérbole se abre horizontalmente, pois o termo positivo está associado a
.
Passo 5
Para esboçar a hipérbole, precisamos desenhar o centro na origem
, traçar as assinaturas
e
para determinar os vértices e as assimptotas. Os vértices estarão a uma distância
do centro ao longo do eixo
, ou seja, em
e
.
Passo 6
As assíntotas da hipérbole são linhas que a hipérbole se aproxima quando
tende ao infinito. A inclinação das assíntotas para uma hipérbole horizontal é dada por
. No nosso caso,
, então as assíntotas são as retas
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a representação paramétrica da hipérbole. Para a hipérbole
, as equações paramétricas são:
Onde
é um parâmetro real.
Passo 8
Substituindo os valores de
e
que encontramos (
e
), temos:
Resposta
A equação
representa uma hipérbole centrada na origem, com v��rtices em
e
. A representação paramétrica dessa hipérbole é: