Esboce a curva dada pela equação: y^2-2 x+6=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a curva definida pela equação . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação para identificar o tipo de curva e suas características principais, como vértice e direção de abertura.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar y^2 - 2x + 6 = 0 isolado. Começamos com:
y^2 + 6 = 2x
Vamos mover o x = 12y^2 + 3 para o outro lado:
Agora, isolamos o :

Passo 3

Agora que temos x = a(y - k)^2 + h em termos de , podemos identificar que essa é a equação de uma parábola. A forma geral de uma parábola que abre para a direita ou para a esquerda é:
Comparando com a nossa equação , vemos que:

Passo 4

O próximo passo é identificar o vértice da parábola. Na forma Vértice = (3, 0) , o vértice está no ponto . Então, substituindo os valores que encontramos:
é

Passo 5

Como o coeficiente é positivo ( ), sabemos que a parábola abre para a direita. Se fosse negativo, ela abriria para a esquerda.

Passo 6

Para esboçar a parábola, podemos calcular alguns pontos adicionais. Vamos escolher valores de x = 12(0)^2 + 3 = 3 e encontrar os correspondentes valores de x = 12(2)^2 + 3 = 12(4) + 3 = 2 + 3 = 5 :
  • Se x = 12(-2)^2 + 3 = 12(4) + 3 = 2 + 3 = 5 :
    x = 12(4)^2 + 3 = 12(16) + 3 = 8 + 3 = 11
  • Se x = 12(-4)^2 + 3 = 12(16) + 3 = 8 + 3 = 11 :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 7

Com esses pontos, podemos plotar a parábola no gráfico:
  • Vértice em
  • Pontos adicionais em , , , e
Como a parábola abre para a direita, ela se estende desse vértice para a direita, passando pelos pontos calculados.

Resposta

A curva é uma parábola com vértice em que abre para a direita. O esboço inclui os pontos , , e , formando uma parábola simétrica ao eixo e se estendendo para a direita a partir do vértice.

Exercícios relacionados