Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole). 9 x^2-18 x+4 y^2=27

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos, a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole) da cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre as cônicas, como elipses, parábolas e hipérboles, e aprender a identificar cada uma delas através da equação fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
9x^2 - 18x + 4y^2 = 27

Passo 3

Vamos colocar essa equação na forma padrão das cônicas. Para isso, vamos dividir todos os termos por 27 para facilitar:
9x^227 - 18x27 + 4y^227 = 2727
Simplificando:
x^23 - 2x3 + 4y^227 = 1

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1. Observamos que temos . Para completar o quadrado:

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 13 + 4y^227 = 1
Multiplicando e reorganizando:
(x - 1)^23 - 13 + 4y^227 = 1
Adicionando (x - 1)^23 + 4y^227 = 43 em ambos os lados:

Passo 6

Para deixar na forma padrão, dividimos todos os termos por (x - 1)^24 + y^23 = 1:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 7

Identificando os parâmetros:
  • Centro

Passo 8

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo:
c = raiz4 - 3 = raiz1 = 1

Passo 9

Como a elipse está alinhada com o eixo (h + c, k) = (1 + 1, 0) = (2, 0), os focos ficam a uma distância (h - c, k) = (1 - 1, 0) = (0, 0) do centro ao longo desse eixo. Assim, os focos são:

Resposta

Os focos da elipse são os pontos e . Como se trata de uma elipse, não há reta diretriz nem assíntotas.

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