Para cada uma das cônicas abaixo, determine o foco (ou focos), reta diretriz (se for parábola) e assíntotas (se for hipérbole).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos, a reta diretriz (se for parábola) e as assíntotas (se for hipérbole) da cônica dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre as cônicas, como elipses, parábolas e hipérboles, e aprender a identificar cada uma delas através da equação fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
Passo 3
Vamos colocar essa equação na forma padrão das cônicas. Para isso, vamos dividir todos os termos por 27 para facilitar:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem
. Observamos que temos
. Para completar o quadrado:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando e reorganizando:
Adicionando
em ambos os lados:
Passo 6
Para deixar na forma padrão, dividimos todos os termos por
:
Agora, reconhecemos que essa é a equação de uma elipse na forma padrão:
onde
é o centro,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 7
Identificando os parâmetros:
- Centro
-
-
Passo 8
Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula:
Substituindo:
Passo 9
Como a elipse está alinhada com o eixo
, os focos ficam a uma distância
do centro ao longo desse eixo. Assim, os focos são:
Resposta
Os focos da elipse são os pontos
e
. Como se trata de uma elipse, não há reta diretriz nem assíntotas.