Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre base de espaços vetoriais. A pergunta quer saber se os polinômios , , e formam uma base para , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço . Basicamente, precisamos ver se eles conseguem “cobrir” todo o espaço sem se repetirem de forma redundante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , como ele tem dimensão 4 (porque os polinômios vão até ), precisamos de 4 polinômios que atendam a esses critérios.
Passo 3
Para verificar se os polinômios são linearmente independentes, podemos organizar os coeficientes deles em vetores e formar uma matriz. Cada polinômio será representado como um vetor com os coeficientes dos termos , , e .
Vamos fazer isso:
pode ser escrito como , então o vetor é .
é , então .
é , então .
é , então .
Agora, montamos a matriz com esses vetores como linhas:
Passo 4
A seguir, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que as linhas (nossos vetores) são linearmente independentes, ou seja, nenhum polinômio pode ser escrito como combinação dos outros. Se forem independentes e temos 4 deles num espaço de dimensão 4, eles formam uma base.
Observando a matriz, percebemos que a primeira coluna tem todos os 1’s e as outras colunas têm zeros em posições estratégicas, o que facilita o cálculo. Expandindo pelo método de cofatores ou usando outras técnicas de cálculo de determinantes, encontramos que o determinante é diferente de zero (especificamente, aqui o determinante vale -1, mas o importante é que é diferente de zero).
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores (polinômios) são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente 4 polinômios num espaço de dimensão 4, eles também geram todo o espaço .
Resposta
Então, sim, os polinômios , , e formam uma base de .