Mostre que os polinômios 1,1+x, 1-x^2 e 1-x-x^2-x^3 formam uma base de P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre base de espaços vetoriais. A pergunta quer saber se os polinômios , , e formam uma base para , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço . Basicamente, precisamos ver se eles conseguem “cobrir” todo o espaço sem se repetirem de forma redundante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , como ele tem dimensão 4 (porque os polinômios vão até ), precisamos de 4 polinômios que atendam a esses critérios.

Passo 3

Para verificar se os polinômios são linearmente independentes, podemos organizar os coeficientes deles em vetores e formar uma matriz. Cada polinômio será representado como um vetor com os coeficientes dos termos 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 1 & -1 & -1 & -1 , , e .
Vamos fazer isso:
  • pode ser escrito como , então o vetor é .
  • é , então .
  • é , então .
  • é , então .
Agora, montamos a matriz com esses vetores como linhas:

Passo 4

A seguir, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que as linhas (nossos vetores) são linearmente independentes, ou seja, nenhum polinômio pode ser escrito como combinação dos outros. Se forem independentes e temos 4 deles num espaço de dimensão 4, eles formam uma base.
Vamos calcular o determinante:
det = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 1 & -1 & -1 & -1
Observando a matriz, percebemos que a primeira coluna tem todos os 1’s e as outras colunas têm zeros em posições estratégicas, o que facilita o cálculo. Expandindo pelo método de cofatores ou usando outras técnicas de cálculo de determinantes, encontramos que o determinante é diferente de zero (especificamente, aqui o determinante vale -1, mas o importante é que é diferente de zero).

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores (polinômios) são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente 4 polinômios num espaço de dimensão 4, eles também geram todo o espaço .

Resposta

Então, sim, os polinômios , , e formam uma base de .

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