Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação que representa uma cônica:
O objetivo é encontrar a equação reduzida dessa cônica, classificá-la (ou seja, dizer se é um círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e descrever o sistema de coordenadas onde essa equação fica na forma mais simples. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações de coordenadas e classificação de cônicas.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a equação tem um termo misto
, o que indica que os eixos atuais não são os melhores para simplificar a equação. Para eliminar esse termo, vamos girar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
que elimina o termo
é:
Na nossa equação,
Isso significa que
ou
(45 graus).
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição das coordenadas para a rotação de 45 graus. As novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por:
Como
:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação original com as expressões em termos de
e
:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.
Passo 5
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
Agora, somamos os termos semelhantes:
-
-
-
-
-
- Constante: -4
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais. Primeiro, podemos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, vamos reorganizar:
Passo 8
Para deixar na forma reduzida, precisamos completar o quadrado para o termo em
:
Substituindo na equação:
Passo 9
Isolando
:
Essa é a equação reduzida da cônica no novo sistema de coordenadas
.
Resposta
A equação reduzida é
. A cônica é uma parábola e o sistema de referência utilizado é o sistema girado em 45 graus em relação ao sistema original, onde o eixo
é o eixo de simetria da parábola.
Exercícios relacionados
Seja
. Dados
, definimos
é um conjunto finito. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
.
Seja
operador linear de rotação de uma ângulo
em torno do eixo
definido por
Mostre que
é um operador ortogonal e verifique que
transforma bases ortonormais em bases ortonormais.
Seja
definida por
. Ache a matriz de B em relação à base canônica de
.
Seja
uma família de relações de equivalência sobre
. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
.