Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação que representa uma cônica:

O objetivo é encontrar a equação reduzida dessa cônica, classificá-la (ou seja, dizer se é um círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e descrever o sistema de coordenadas onde essa equação fica na forma mais simples. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações de coordenadas e classificação de cônicas.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a equação tem um termo misto , o que indica que os eixos atuais não são os melhores para simplificar a equação. Para eliminar esse termo, vamos girar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo é:

Na nossa equação, , e , então:
Isso significa que ou (45 graus).

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição das coordenadas para a rotação de 45 graus. As novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Como :
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação original com as expressões em termos de e :
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.

Passo 5

Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
Agora, somamos os termos semelhantes:
  • Constante: -4
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais. Primeiro, podemos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, vamos reorganizar:

Passo 8

Para deixar na forma reduzida, precisamos completar o quadrado para o termo em :
Substituindo na equação:

Passo 9

Isolando :
Essa é a equação reduzida da cônica no novo sistema de coordenadas .

Resposta

A equação reduzida é . A cônica é uma parábola e o sistema de referência utilizado é o sistema girado em 45 graus em relação ao sistema original, onde o eixo é o eixo de simetria da parábola.

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