Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida. x^2+y^2+2 x y+2 raiz2 x+6 raiz2 y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação que representa uma cônica:
x^2 + y^2 + 2xy + 2raiz2x + 6raiz2y - 4 = 0
O objetivo é encontrar a equação reduzida dessa cônica, classificá-la (ou seja, dizer se é um círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e descrever o sistema de coordenadas onde essa equação fica na forma mais simples. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre transformações de coordenadas e classificação de cônicas.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a equação tem um termo misto tan(2theta) = BA - C, o que indica que os eixos atuais não são os melhores para simplificar a equação. Para eliminar esse termo, vamos girar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = 21 - 1 = 20 que elimina o termo é:

Na nossa equação, , e , então:
Isso significa que ou (45 graus).

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição das coordenadas para a rotação de 45 graus. As novas coordenadas x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta estão relacionadas com as antigas costheta = sintheta = raiz22 por:
x = raiz22x' - raiz22y' y = raiz22x' + raiz22y'
Como :
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos substituir (raiz22x' - raiz22y')^2 + (raiz22x' + raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 2raiz2(raiz22x' - raiz22y') + 6raiz2(raiz22x' + raiz22y') - 4 = 0 e na equação original com as expressões em termos de e :
Isso parece complicado, mas vamos simplificar passo a passo.

Passo 5

Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, somando todos os termos:
12(x'^2 - 2x'y' + y'^2) + 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2) + x'^2 - y'^2 + 2(x' - y') + 6(x' + y') - 4 = 0
Simplificando:
12x'^2 - x'y' + 12y'^2 + 12x'^2 + x'y' + 12y'^2 + x'^2 - y'^2 + 2x' - 2y' + 6x' + 6y' - 4 = 0
Agora, somamos os termos semelhantes:
  • 2x'^2 + 8x' + 4y' - 4 = 0
  • Constante: -4
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais. Primeiro, podemos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
x'^2 + 4x' + 2y' - 2 = 0
Agora, vamos reorganizar:
x'^2 + 4x' + 2y' = 2

Passo 8

Para deixar na forma reduzida, precisamos completar o quadrado para o termo em x'^2 + 4x' = (x' + 2)^2 - 4 :
(x' + 2)^2 - 4 + 2y' = 2 (x' + 2)^2 + 2y' = 6 (x' + 2)^2 + 2y' = 6
Substituindo na equação:

Passo 9

Isolando 2y' = - (x' + 2)^2 + 6 y' = -12(x' + 2)^2 + 3 :
Essa é a equação reduzida da cônica no novo sistema de coordenadas .

Resposta

A equação reduzida é . A cônica é uma parábola e o sistema de referência utilizado é o sistema girado em 45 graus em relação ao sistema original, onde o eixo é o eixo de simetria da parábola.

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