Seja T: R^3 R^3 operador linear de rotação de uma ângulo theta em torno do eixo z definido por
T(x, y, z)=(x cos theta-y sin theta, x sin theta+y cos theta, z)
Mostre que T é um operador ortogonal e verifique que T transforma bases ortonormais em bases ortonormais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que faz uma rotação de um ângulo em torno do eixo no espaço tridimensional. A tarefa é mostrar que esse operador é ortogonal e verificar que ele transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador ortogonal, trabalhar com matrizes de transformação e saber o que caracteriza uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser ortogonal. Um operador linear é ortogonal se sua matriz associada satisfaz a condição , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso basicamente quer dizer que as colunas de formam um conjunto de vetores ortonormais.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz de transformação T(x, y, z) = (x cos theta - y sin theta, x sin theta + y cos theta, z) associada ao operador A = cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 . O operador é dado por:
Então, a matriz que representa é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a transposta de A^T = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 , que é :

Passo 5

Vamos multiplicar A^T A = cos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 cos theta & -sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 por A^T A = cos^2 theta + sin^2 theta & -cos theta sin theta + sin theta cos theta & 0 -sin theta cos theta + cos theta sin theta & sin^2 theta + cos^2 theta & 0 0 & 0 & 1 para verificar se dá a matriz identidade:
A^T A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I
Fazendo a multiplicação:
Simplificando, como e os termos cruzados se cancelam:
Então, , confirmando que é uma matriz ortogonal.

Passo 6

Agora, vamos verificar que T(e1) = (cos theta, sin theta, 0) T(e2) = (-sin theta, cos theta, 0) T(e3) = (0, 0, 1) transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1. Como é uma matriz ortogonal, ela preserva os ângulos e comprimentos dos vetores. Ou seja, se você aplicar a uma base ortonormal, o resultado será outra base ortonormal.
Para ilustrar, considere uma base ortonormal . Aplicando :
Cada um desses vetores tem norma 1 e são ortogonais entre si, mantendo a propriedade da base ortonormal.

Resposta

Assim, mostramos que é um operador ortogonal e que ele transforma bases ortonormais em bases ortonormais.

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