Seja
uma família de relações de equivalência sobre
. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a interseção de uma família de relações de equivalência sobre um conjunto
, ou seja,
, também é uma relação de equivalência sobre
. Vamos usar os conceitos de relações de equivalência e suas propriedades principais: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
sobre um conjunto
é chamada de reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja,
.
Passo 3
Além disso, a relação
é simétrica se sempre que um elemento
está relacionado a
, então
está relacionado a
, formalmente
.
Passo 4
Por último, a relação
é transitiva se sempre que
está relacionado a
e
está relacionado a
, então
está relacionado a
, ou seja,
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a interseção
. Isso significa que um par
está nessa interseção se e somente se
está em todas as relações
.
Passo 6
Reflexividade: Como cada
é reflexiva, para todo
,
é verdadeiro para todo
. Portanto,
também é verdadeiro, garantindo que a interseção é reflexiva.
Passo 7
Simetria: Se
está na interseção, então
está em cada
. Como cada
é simétrica,
também está em cada
. Logo,
está na interseção, mostrando que a interseção é simétrica.
Passo 8
Transitividade: Se
e
estão na interseção, então estão em cada
. Como cada
é transitiva,
também está em cada
. Portanto,
está na interseção, confirmando que a interseção é transitiva.
Resposta
Assim, mostramos passo a passo que a interseção
satisfaz as três propriedades de uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade. Portanto,
é uma relação de equivalência sobre
.