Seja uma família de relações de equivalência sobre . Mostre que é uma relação de equivalência sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a interseção de uma família de relações de equivalência sobre um conjunto , ou seja, , também é uma relação de equivalência sobre . Vamos usar os conceitos de relações de equivalência e suas propriedades principais: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação sobre um conjunto é chamada de reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja, .

Passo 3

Além disso, a relação é simétrica se sempre que um elemento está relacionado a , então está relacionado a , formalmente .

Passo 4

Por último, a relação é transitiva se sempre que está relacionado a e está relacionado a , então está relacionado a , ou seja, e .

Passo 5

Agora, vamos analisar a interseção . Isso significa que um par está nessa interseção se e somente se está em todas as relações .

Passo 6

Reflexividade: Como cada é reflexiva, para todo , é verdadeiro para todo . Portanto, também é verdadeiro, garantindo que a interseção é reflexiva.

Passo 7

Simetria: Se está na interseção, então está em cada . Como cada é simétrica, também está em cada . Logo, está na interseção, mostrando que a interseção é simétrica.

Passo 8

Transitividade: Se e estão na interseção, então estão em cada . Como cada é transitiva, também está em cada . Portanto, está na interseção, confirmando que a interseção é transitiva.

Resposta

Assim, mostramos passo a passo que a interseção satisfaz as três propriedades de uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade. Portanto, é uma relação de equivalência sobre .

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