Seja B: R^3 times R^3 R definida por B((x1, x2, x3),(y1, y2, y3))= -2 x1 y1+4 x2 y1+2 x2 y2+2 x3 y3. Ache a matriz de B em relação à base canônica de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma forma bilinear que pega dois vetores de e retorna um número real. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa forma bilinear utilizando a base canônica de . Para isso, vamos precisar entender como relacionar a forma bilinear com sua matriz correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear satisfaz duas propriedades básicas de linearidade em cada uma das variáveis. A matriz associada a na base canônica é uma matriz onde cada entrada é calculada como , sendo e os vetores da base canônica.

Passo 3

Vamos calcular cada entrada da matriz B(e1, e1) = -2(1)(1) + 4(0)(1) + 2(0)(0) + 2(0)(0) = -2 :
  1. B(e1, e2) = -2(1)(0) + 4(0)(0) + 2(0)(1) + 2(0)(0) = 0
    Substituindo B(e1, e3) = -2(1)(0) + 4(0)(0) + 2(0)(0) + 2(0)(1) = 0 e B(e2, e1) = -2(0)(1) + 4(1)(1) + 2(1)(0) + 2(0)(0) = 4 :
    B(e2, e2) = -2(0)(0) + 4(1)(0) + 2(1)(1) + 2(0)(0) = 2
  2. B(e2, e3) = -2(0)(0) + 4(1)(0) + 2(1)(0) + 2(0)(1) = 0
    Substituindo B(e3, e1) = -2(0)(1) + 4(0)(1) + 2(0)(0) + 2(1)(0) = 0 e B(e3, e2) = -2(0)(0) + 4(0)(0) + 2(0)(1) + 2(1)(0) = 0 :
    B(e3, e3) = -2(0)(0) + 4(0)(0) + 2(0)(0) + 2(1)(1) = 2

  3. Substituindo e :

  4. Substituindo e :

  5. Substituindo e :

  6. Substituindo e :

  7. Substituindo e :

  8. Substituindo e :

  9. Substituindo e :

Resposta

A matriz de -2 & 0 & 0 4 & 2 & 0 0 & 0 & 2 na base canônica de é:

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