Seja
. Dados
, definimos
é um conjunto finito. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a relação
é uma relação de equivalência no conjunto
. Isso significa que precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como aplicá-las à relação definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é de equivalência se satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simétrica: Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro.
- Transitiva: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
No nosso caso, a relação
está definida por
se o conjunto
é finito.
Passo 3
Reflexiva: Precisamos mostrar que todo
está relacionado a si mesmo, ou seja,
.
Vamos analisar o conjunto
. Como
sempre é igual a
, não existe nenhum
que satisfaça
. Portanto,
é o conjunto vazio, que é finito. Logo,
.
Passo 4
Simétrica: Precisamos mostrar que se
, então
.
Suponha que
. Isso significa que o conjunto
é finito. Observemos que
é a mesma coisa que
, então o conjunto de posições onde
difere de
também é
, que já sabemos ser finito. Portanto,
.
Passo 5
Transitiva: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Suponha que
e
. Isso significa que os conjuntos
e
são finitos.
Queremos mostrar que
também é finito.
Observe que se
, então ou
ou
(ou ambos). Portanto,
.
Como
e
são finitos, a união
também é finita. Logo,
é um subconjunto de um conjunto finito, o que implica que
é finito. Portanto,
.
Resposta
Assim, verificamos que a relação
satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto,
é uma relação de equivalência sobre o conjunto
.
Exercícios relacionados
Seja
operador linear de rotação de uma ângulo
em torno do eixo
definido por
Mostre que
é um operador ortogonal e verifique que
transforma bases ortonormais em bases ortonormais.
Sejam
uma função e
uma relação de equivalência sobre
determinada por
. Mostre que
se, e somente se,
implica que
, para todos
.
Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Seja
definida por
. Ache a matriz de B em relação à base canônica de
.