Seja . Dados , definimos
é um conjunto finito. Mostre que é uma relação de equivalência sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a relação é uma relação de equivalência no conjunto . Isso significa que precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como aplicá-las à relação definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é de equivalência se satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simétrica: Se um elemento está relacionado a outro, então o segundo está relacionado ao primeiro.
  3. Transitiva: Se um elemento está relacionado a um segundo, e esse segundo está relacionado a um terceiro, então o primeiro está relacionado ao terceiro.
No nosso caso, a relação está definida por se o conjunto é finito.

Passo 3

Reflexiva: Precisamos mostrar que todo está relacionado a si mesmo, ou seja, .
Vamos analisar o conjunto . Como sempre é igual a , não existe nenhum que satisfaça . Portanto, é o conjunto vazio, que é finito. Logo, .

Passo 4

Simétrica: Precisamos mostrar que se , então .
Suponha que . Isso significa que o conjunto é finito. Observemos que é a mesma coisa que , então o conjunto de posições onde difere de também é , que já sabemos ser finito. Portanto, .

Passo 5

Transitiva: Precisamos mostrar que se e , então .
Suponha que e . Isso significa que os conjuntos e são finitos.
Queremos mostrar que também é finito.
Observe que se , então ou ou (ou ambos). Portanto, .
Como e são finitos, a união também é finita. Logo, é um subconjunto de um conjunto finito, o que implica que é finito. Portanto, .

Resposta

Assim, verificamos que a relação satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência sobre o conjunto .

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