Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma cônica: . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa cônica, classificá-la (ou seja, dizer se é uma elipse, hipérbole, etc.) e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida está expressa. Para resolver isso, vamos precisar usar a rotação de eixos para eliminar o termo e simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação geral da cônica para identificar os coeficientes:
No nosso caso, temos:
Então, , , , , , e .
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo :
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Então, vamos rotacionar os eixos 30 graus para eliminar o termo .
Passo 4
Com o ângulo , aplicamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
Substituindo e :
Passo 5
Agora, substituímos e na equação original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.
Passo 6
Após simplificar, todas as parcelas com vão se cancelar, já que escolhemos justamente para eliminar o termo cruzado. Vamos ficar com uma equação sem o termo :
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 7
A equação reduzida obtida é:
Essa é a equação de uma parábola, pois temos apenas um termo quadrático. Porém, como houve eliminação do termo , na verdade estamos lidando com uma reta degenerada, já que a equação representa todas as linhas onde é constante.
Resposta
A equação reduzida da cônica é . Essa cônica é uma parábola. O sistema de referência onde essa equação está reduzida é obtido através de uma rotação dos eixos originais em 30 graus, eliminando o termo e simplificando a equação para a forma padrão.