Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida. 2 x^2+2 raiz3 x y=3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a equação de uma cônica: . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa cônica, classificá-la (ou seja, dizer se é uma elipse, hipérbole, etc.) e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida está expressa. Para resolver isso, vamos precisar usar a rotação de eixos para eliminar o termo e simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação geral da cônica para identificar os coeficientes:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, temos:
2x^2 + 2raiz3xy + 0y^2 - 3 = 0
Então, , , , , , e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo tan(2theta) = BA - C de rotação que elimina o termo tan(2theta) = 2raiz32 - 0 = raiz3 :
2theta = 60° implies theta = 30°
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Então, vamos rotacionar os eixos 30 graus para eliminar o termo .

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta , aplicamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
x = raiz32x' - 12y'
Substituindo y = 12x' + raiz32y' e :

Passo 5

Agora, substituímos 2(raiz32x' - 12y')^2 + 2raiz3(raiz32x' - 12y')(12x' + raiz32y') = 3 e na equação original:
Vamos expandir e simplificar essa expressão.

Passo 6

Após simplificar, todas as parcelas com (2 times 34)x'^2 + (2raiz3 times 34)x'^2 + constantes = 3 vão se cancelar, já que escolhemos 32x'^2 + 9raiz32x'^2 = 3 justamente para eliminar o termo cruzado. Vamos ficar com uma equação sem o termo 6x'^2 = 3 implies x'^2 = 12 :
Simplificando:
Isso resulta em:

Passo 7

A equação reduzida obtida é:
x'^2 = 12
Essa é a equação de uma parábola, pois temos apenas um termo quadrático. Porém, como houve eliminação do termo , na verdade estamos lidando com uma reta degenerada, já que a equação representa todas as linhas onde é constante.

Resposta

A equação reduzida da cônica é . Essa cônica é uma parábola. O sistema de referência onde essa equação está reduzida é obtido através de uma rotação dos eixos originais em 30 graus, eliminando o termo e simplificando a equação para a forma padrão.

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