Encontre a matriz que diagonaliza as matrizes
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz . Isso está relacionado ao estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor. Esses autovetores vão formar as colunas da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade.
A matriz fica:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando os determinantes menores:
Substituindo de volta:
Expandindo essa expressão:
Arrumando os termos:
Agora, resolvemos essa equação cúbica para encontrar os valores de .
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar :
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação: (confere)
Da segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma
Podemos escolher , então um autovetor é
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação: (confere)
Não há restrição para , então é livre.
Então, os autovetores t��m a forma
Podemos escolher e para obter
E também escolher e para obter

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz usando os autovetores encontrados como colunas:

Resposta

A matriz que diagonaliza é:

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