Encontre a matriz
que diagonaliza as matrizes
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz
que diagonaliza a matriz
. Isso está relacionado ao estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de
e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor. Esses autovetores vão formar as colunas da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
det(A - lambda I) = (0 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda - 0 + (-2) cdot det 1 & 2 - lambda 1 & 0 são os autovalores e
det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - 0 cdot 1 = (2 - lambda)(3 - lambda) é a matriz identidade.
A matriz
det 1 & 2 - lambda 1 & 0 = 1 cdot 0 - (2 - lambda) cdot 1 = - (2 - lambda) = lambda - 2 fica:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando os determinantes menores:
Substituindo de volta:
Expandindo essa expressão:
Arrumando os termos:
Agora, resolvemos essa equação cúbica para encontrar os valores de
.
Testando
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar
:
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são
e
(com multiplicidade 2).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
A - I = -1 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 :
Resolvemos
-1x + 0y - 2z = 0 x + y + z = 0 x + 0y + 2z = 0 :
Montando o sistema:
Da primeira equação:
-2 1 1
A - 2I = -2 & 0 & -2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1
-2x + 0y - 2z = 0 x + 0y + z = 0 x + 0y + z = 0
Da terceira equação:
-z y z
-1 0 1
0 1 0 (confere)
Da segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma
Podemos escolher
, então um autovetor é
Para
:
Resolvemos
:
Montando o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
(confere)
Não há restrição para
, então
é livre.
Então, os autovetores t��m a forma
Podemos escolher
e
para obter
E também escolher
e
para obter
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz
P = v1 & v2 & v3 = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 usando os autovetores encontrados como colunas:
Resposta
A matriz
P = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 que diagonaliza
é: