Encontre a matriz P que diagonaliza as matrizes
a) A=[ccc0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma matriz que diagonaliza a matriz . Isso está relacionado ao estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de e, em seguida, os autovetores correspondentes a cada autovalor. Esses autovetores vão formar as colunas da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 0 - lambda & 0 & -2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 0 & 3 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (0 - lambda) cdot det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda - 0 + (-2) cdot det 1 & 2 - lambda 1 & 0 são os autovalores e det 2 - lambda & 1 0 & 3 - lambda = (2 - lambda)(3 - lambda) - 0 cdot 1 = (2 - lambda)(3 - lambda) é a matriz identidade.
A matriz det 1 & 2 - lambda 1 & 0 = 1 cdot 0 - (2 - lambda) cdot 1 = - (2 - lambda) = lambda - 2 fica:
det(A - lambda I) = (-lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) - 2(lambda - 2)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
-lambda[(2 - lambda)(3 - lambda)] - 2lambda + 4 = -lambda(6 - 5lambda + lambda^2) - 2lambda + 4 = -6lambda + 5lambda^2 - lambda^3 - 2lambda + 4
Calculando os determinantes menores:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4 = 0
-1 + 5 - 8 + 4 = 0
Substituindo de volta:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4 = -(lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 4) = 0
Expandindo essa expressão:
lambda = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Arrumando os termos:
Agora, resolvemos essa equação cúbica para encontrar os valores de .
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar :
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são e (com multiplicidade 2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para A - I = -1 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 :
Resolvemos -1x + 0y - 2z = 0 x + y + z = 0 x + 0y + 2z = 0 :
-2z z z
Montando o sistema:
-2 1 1
Da primeira equação: -2 1 1 A - 2I = -2 & 0 & -2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 -2x + 0y - 2z = 0 x + 0y + z = 0 x + 0y + z = 0
Da terceira equação: -z y z -1 0 1 0 1 0 (confere)
Da segunda equação:
Então, os autovetores têm a forma
Podemos escolher , então um autovetor é
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação: (confere)
Não há restrição para , então é livre.
Então, os autovetores t��m a forma
Podemos escolher e para obter
E também escolher e para obter

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz P = v1 & v2 & v3 = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 usando os autovetores encontrados como colunas:

Resposta

A matriz P = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 que diagonaliza é:

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