Sejam A=[ccc1 & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1] e B=[lll1 & 3 & 1 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3] matrizes inversíveis.
c) Encontre os autovetores de A B e os de B A. O que você nota?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovetores das matrizes e . Estamos lidando com matrizes invertíveis e vamos precisar entender um pouco sobre produtos de matrizes e autovetores. Pra resolver isso, vamos multiplicar as matrizes e nas duas ordens e depois encontrar os vetores que, quando multiplicados por essas matrizes, resultam em um múltiplo deles mesmos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto A = 1 & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1 , B = 1 & 3 & 1 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 . As matrizes são:
AB = A times B = 1 times 1 + 2 times 0 + 1 times 0 & 1 times 3 + 2 times 2 + 1 times 0 & 1 times 1 + 2 times 0 + 1 times 3 0 times 1 + (-1) times 0 + 1 times 0 & 0 times 3 + (-1) times 2 + 1 times 0 & 0 times 1 + (-1) times 0 + 1 times 3 0 times 1 + 0 times 0 + (-1) times 0 & 0 times 3 + 0 times 2 + (-1) times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 + (-1) times 3
Multiplicando AB = 1 & 7 & 4 0 & -2 & 3 0 & 0 & -3 por :
Simplificando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto BA = B times A = 1 times 1 + 3 times 0 + 1 times 0 & 1 times 2 + 3 times (-1) + 1 times 0 & 1 times 1 + 3 times 1 + 1 times (-1) 0 times 1 + 2 times 0 + 0 times 0 & 0 times 2 + 2 times (-1) + 0 times 0 & 0 times 1 + 2 times 1 + 0 times (-1) 0 times 1 + 0 times 0 + 3 times 0 & 0 times 2 + 0 times (-1) + 3 times 0 & 0 times 1 + 0 times 1 + 3 times (-1) :
BA = 1 & -1 & 3 0 & -2 & 2 0 & 0 & -3
Simplificando cada elemento:

Passo 4

Agora que temos Autovalores de AB: lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = -3 e Autovalores de BA: lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = -3 , vamos encontrar os autovetores de cada uma. Lembrando que um autovetor de uma matriz satisfaz , onde é o autovalor correspondente.
Vamos primeiro encontrar os autovalores de e . Observamos que ambas as matrizes são matrizes triangulares (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), então os autovalores são os elementos da diagonal principal.
Para :
Para :
Os autovalores são os mesmos, o que já é uma observação interessante!

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para 0 & 7 & 4 0 & -3 & 3 0 & 0 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 e 1 0 0 .
Para 0 & -1 & 3 0 & -3 & 2 0 & 0 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Para 1 0 0 :
Resolvendo :

[


]
Isso leva a , , e . Então, o autovetor é .
Para :
Para :
Resolvendo :

[


]
Novamente, , , e . Então, o autovetor é .

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para os demais autovalores ( e ) tanto para quanto para , observamos que os autovetores resultantes são os mesmos para e .

Resposta

Os autovetores de e de são iguais para cada autovalor correspondente. Isso mostra que, apesar da ordem da multiplicação, ambas as matrizes compartilham os mesmos autovetores.

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