Sejam e matrizes inversíveis.
c) Encontre os autovetores de e os de . O que você nota?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovetores das matrizes e . Estamos lidando com matrizes invertíveis e vamos precisar entender um pouco sobre produtos de matrizes e autovetores. Pra resolver isso, vamos multiplicar as matrizes e nas duas ordens e depois encontrar os vetores que, quando multiplicados por essas matrizes, resultam em um múltiplo deles mesmos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto . As matrizes são:
Multiplicando por :
Simplificando cada elemento:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto :
Simplificando cada elemento:
Passo 4
Agora que temos e , vamos encontrar os autovetores de cada uma. Lembrando que um autovetor de uma matriz satisfaz , onde é o autovalor correspondente.
Vamos primeiro encontrar os autovalores de e . Observamos que ambas as matrizes são matrizes triangulares (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), então os autovalores são os elementos da diagonal principal.
Para :
Para :
Os autovalores são os mesmos, o que já é uma observação interessante!
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para e .
Para :
Para :
Resolvendo :
[
]
Isso leva a , , e . Então, o autovetor é .
Para :
Para :
Resolvendo :
[
]
Novamente, , , e . Então, o autovetor é .
Passo 6
Repetindo o mesmo processo para os demais autovalores ( e ) tanto para quanto para , observamos que os autovetores resultantes são os mesmos para e .
Resposta
Os autovetores de e de são iguais para cada autovalor correspondente. Isso mostra que, apesar da ordem da multiplicação, ambas as matrizes compartilham os mesmos autovetores.