Sejam e matrizes inversíveis.
c) Encontre os autovetores de e os de . O que você nota?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovetores das matrizes e . Estamos lidando com matrizes invertíveis e vamos precisar entender um pouco sobre produtos de matrizes e autovetores. Pra resolver isso, vamos multiplicar as matrizes e nas duas ordens e depois encontrar os vetores que, quando multiplicados por essas matrizes, resultam em um múltiplo deles mesmos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto . As matrizes são:
Multiplicando por :
Simplificando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto :
Simplificando cada elemento:

Passo 4

Agora que temos e , vamos encontrar os autovetores de cada uma. Lembrando que um autovetor de uma matriz satisfaz , onde é o autovalor correspondente.
Vamos primeiro encontrar os autovalores de e . Observamos que ambas as matrizes são matrizes triangulares (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), então os autovalores são os elementos da diagonal principal.
Para :
Para :
Os autovalores são os mesmos, o que já é uma observação interessante!

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para e .
Para :
Para :
Resolvendo :

[


]
Isso leva a , , e . Então, o autovetor é .
Para :
Para :
Resolvendo :

[


]
Novamente, , , e . Então, o autovetor é .

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para os demais autovalores ( e ) tanto para quanto para , observamos que os autovetores resultantes são os mesmos para e .

Resposta

Os autovetores de e de são iguais para cada autovalor correspondente. Isso mostra que, apesar da ordem da multiplicação, ambas as matrizes compartilham os mesmos autovetores.

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Responda Seja Seja . Expresse na forma matricial
Encontre a matriz que diagonaliza as matrizes
b)
, mostre que .
Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.