Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por . Vamos classificar essa cônica e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida está. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre cônicas, completar quadrados e possivelmente rotacionar o sistema de coordenadas para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem termos em , , e , além de um termo linear em . A presença do termo indica que a cônica pode estar inclinada em relação aos eixos coordenados, então vamos precisar rotacionar o sistema para eliminar esse termo.

Passo 3

Para eliminar o termo , usamos uma rotação de eixo. A fórmula para o ângulo de rotação é dada por:
onde , , e .
Substituindo:
Isso implica que ou , então .

Passo 4

Agora, efetuamos a rotação de . As novas coordenadas são relacionadas às antigas por:
Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 5

Simplificamos os termos:
Multiplicando cada termo:
Simplificando:
Isso resulta em:

Passo 6

Vamos completar o quadrado para e . Primeiro, reorganizamos os termos:
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Dividimos toda a equação por 16 para obter a forma reduzida:

Passo 8

Agora, identificamos o tipo de cônica. A equação representa uma elipse, onde e são os semi-eixos.
Aqui, e , então e .

Passo 9

Portanto, a cônica é uma elipse. O sistema de referência reduzido foi obtido após uma rotação de dos eixos originais.

Resposta

A equação reduzida é . Trata-se de uma elipse e o sistema de referência foi rotacionado em relação ao sistema original.

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a)
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