Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por . Vamos classificar essa cônica e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida está. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre cônicas, completar quadrados e possivelmente rotacionar o sistema de coordenadas para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação tem termos em , , e , além de um termo linear em . A presença do termo indica que a cônica pode estar inclinada em relação aos eixos coordenados, então vamos precisar rotacionar o sistema para eliminar esse termo.
Passo 3
Para eliminar o termo , usamos uma rotação de eixo. A fórmula para o ângulo de rotação é dada por:
onde , , e .
Substituindo:
Isso implica que ou , então .
Passo 4
Agora, efetuamos a rotação de . As novas coordenadas são relacionadas às antigas por:
Substituindo essas expressões na equação original:
Passo 5
Simplificamos os termos:
Multiplicando cada termo:
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 6
Vamos completar o quadrado para e . Primeiro, reorganizamos os termos:
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Dividimos toda a equação por 16 para obter a forma reduzida:
Passo 8
Agora, identificamos o tipo de cônica. A equação representa uma elipse, onde e são os semi-eixos.
Aqui, e , então e .
Passo 9
Portanto, a cônica é uma elipse. O sistema de referência reduzido foi obtido após uma rotação de dos eixos originais.
Resposta
A equação reduzida é . Trata-se de uma elipse e o sistema de referência foi rotacionado em relação ao sistema original.