Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida. 3 x^2+2 x y+3 y^2+8 raiz2 y=4

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida de uma cônica dada por . Vamos classificar essa cônica e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida está. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre cônicas, completar quadrados e possivelmente rotacionar o sistema de coordenadas para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem termos em , , e , além de um termo linear em . A presença do termo indica que a cônica pode estar inclinada em relação aos eixos coordenados, então vamos precisar rotacionar o sistema para eliminar esse termo.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos uma rotação de eixo. A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = 23 - 3 = 20 é dada por:
onde , , e .
Substituindo:
Isso implica que ou , então .

Passo 4

Agora, efetuamos a rotação de x = x' - y'raiz2 y = x' + y'raiz2 . As novas coordenadas 3(x' - y'raiz2)^2 + 2(x' - y'raiz2)(x' + y'raiz2) + 3(x' + y'raiz2)^2 + 8raiz2(x' + y'raiz2) = 4 são relacionadas às antigas por:
Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 5

Simplificamos os termos:
3(x'^2 - 2x'y' + y'^22) + 2(x'^2 - y'^22) + 3(x'^2 + 2x'y' + y'^22) + 8(x' + y') = 4
Multiplicando cada termo:
3x'^2 - 6x'y' + 3y'^22 + 2x'^2 - 2y'^22 + 3x'^2 + 6x'y' + 3y'^22 + 8x' + 8y' = 4
Simplificando:
3x'^2 - 6x'y' + 3y'^2 + 2x'^2 - 2y'^2 + 3x'^2 + 6x'y' + 3y'^22 + 8x' + 8y' = 4
Isso resulta em:
8x'^2 + 4y'^22 + 8x' + 8y' = 4 4x'^2 + 2y'^2 + 8x' + 8y' = 4

Passo 6

Vamos completar o quadrado para 4x'^2 + 8x' + 2y'^2 + 8y' = 4 e 4x'^2 + 8x' = 4(x'^2 + 2x') = 4(x'^2 + 2x' + 1 - 1) = 4((x' + 1)^2 - 1) = 4(x' + 1)^2 - 4 . Primeiro, reorganizamos os termos:
2y'^2 + 8y' = 2(y'^2 + 4y') = 2(y'^2 + 4y' + 4 - 4) = 2((y' + 2)^2 - 4) = 2(y' + 2)^2 - 8
Para 4(x' + 1)^2 - 4 + 2(y' + 2)^2 - 8 = 4 4(x' + 1)^2 + 2(y' + 2)^2 - 12 = 4 4(x' + 1)^2 + 2(y' + 2)^2 = 16 :
Para :
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Dividimos toda a equação por 16 para obter a forma reduzida:
(x' + 1)^24 + (y' + 2)^28 = 1

Passo 8

Agora, identificamos o tipo de cônica. A equação representa uma elipse, onde e são os semi-eixos.
Aqui, e , então e .

Passo 9

Portanto, a cônica é uma elipse. O sistema de referência reduzido foi obtido após uma rotação de dos eixos originais.

Resposta

A equação reduzida é . Trata-se de uma elipse e o sistema de referência foi rotacionado em relação ao sistema original.

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