Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente pegar a equação de uma quádrica, que é uma superfície geométrica representada por uma equação de segundo grau, e transformá-la em uma equação reduzida. Depois, vamos classificar essa quádrica e descrever o sistema de coordenadas onde essa equação reduzida está expressa.
Para isso, vamos precisar usar algumas ideias de geometria analítica, como completar quadrados e mudar de sistema de coordenadas para simplificar a equação. Vamos com calma, passo a passo, sem pular nada!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é simplificar essa equação, eliminando os termos mistos (como o ) e deixando tudo mais organizado.
Passo 3
Vamos observar os termos que envolvem e :
Esse é um polinômio quadrático com termos mistos (). Para simplificar, precisamos completar o quadrado. Mas antes, vamos reorganizar os termos:
Passo 4
Agora, vamos focar nos termos quadráticos e mistos:
Queremos reescrever isso de uma forma que facilite a simplificação. Podemos fatorar os termos de e :
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos agrupar os termos lineares de e :
Passo 6
Precisamos eliminar ou simplificar os termos lineares. Para isso, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos chamar:
Isso nos ajuda a simplificar a equação, já que as variáveis estão combinadas de maneira que facilita a redução.
Passo 7
Substituindo e na equação:
Queremos isolar :
Passo 8
Agora, temos a equação reduzida em termos de e :
Essa é a forma simplificada da nossa quádrica, onde eliminamos o termo misto .
Passo 9
Para classificar a quádrica, observamos a forma da equação reduzida. Vemos que temos um termo quadrático positivo () e termos lineares. Isso indica que estamos lidando com um paraboloide.
Mais especificamente, como há apenas um termo quadrático (), a superfície é um paraboloide de revolução.
Resposta
A equação reduzida da quádrica é:
Essa quádrica é classificada como um paraboloide de revolução. O sistema de referência reduzido utiliza as coordenadas e , simplificando a equação original e eliminando termos mistos.