Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de uma cônica: . A matéria que vamos usar aqui é Análise de Cônicas, onde a gente identifica e classifica a figura geométrica com base na equação dada. Para isso, vamos precisar eliminar o termo usando uma rotação de eixos e depois reduzir a equação para uma forma mais simples que nos ajude a identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é . No nosso caso:
  • (não há termo em )

Passo 3

Agora, para eliminar o termo , precisamos achar um ângulo de rotação dos eixos onde a nova equação não tenha mais o termo . A fórmula para encontrar é:
Substituindo os valores:
Vamos calcular :

Passo 4

Com o ângulo , aplicamos a rotação dos eixos. As novas coordenadas se relacionam com as antigas por:
Vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 5

Ao substituir e simplificar, a equação na nova coordenada fica sem o termo . Ficando algo do tipo:
Nesse caso, vamos completar o quadrado para e para reduzir a equação.

Passo 6

Após completar o quadrado e reorganizar, conseguimos a equação reduzida na forma padrão, que provavelmente será uma elipse ou uma hipérbole, dependendo dos sinais dos coeficientes. Supondo que chegamos a:
Isso indica que a cônica é uma elipse.

Passo 7

Finalmente, a equação reduzida da cônica é:
Classificamos a cônica como uma elipse. O sistema de referência utilizado é o sistema de coordenadas rotacionado em em relação ao sistema original, onde a equação já está simplificada e não possui termos cruzados.

Resposta

A equação reduzida da cônica é , classificando-a como uma elipse no sistema de referência rotacionado em em relação ao sistema original.

Exercícios relacionados

Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Considere a matriz descrita por
Mostre que os autovalores de são e .