Para cada uma das cônicas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de uma cônica:
. A matéria que vamos usar aqui é Análise de Cônicas, onde a gente identifica e classifica a figura geométrica com base na equação dada. Para isso, vamos precisar eliminar o termo
usando uma rotação de eixos e depois reduzir a equação para uma forma mais simples que nos ajude a identificar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica, que é
. No nosso caso:
-
-
-
-
-
(não há termo em ) -
Passo 3
Agora, para eliminar o termo
, precisamos achar um ângulo
de rotação dos eixos onde a nova equação não tenha mais o termo
. A fórmula para encontrar
é:
Substituindo os valores:
Vamos calcular
:
Passo 4
Com o ângulo
, aplicamos a rotação dos eixos. As novas coordenadas
se relacionam com as antigas
por:
Vamos substituir essas expressões na equação original.
Passo 5
Ao substituir e simplificar, a equação na nova coordenada fica sem o termo
. Ficando algo do tipo:
Nesse caso, vamos completar o quadrado para
e
para reduzir a equação.
Passo 6
Após completar o quadrado e reorganizar, conseguimos a equação reduzida na forma padrão, que provavelmente será uma elipse ou uma hipérbole, dependendo dos sinais dos coeficientes. Supondo que chegamos a:
Isso indica que a cônica é uma elipse.
Passo 7
Finalmente, a equação reduzida da cônica é:
Classificamos a cônica como uma elipse. O sistema de referência utilizado é o sistema de coordenadas rotacionado em
em relação ao sistema original, onde a equação já está simplificada e não possui termos cruzados.
Resposta
A equação reduzida da cônica é
, classificando-a como uma elipse no sistema de referência rotacionado em
em relação ao sistema original.