Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre quádricas, que são superfícies no espaço definidas por equações de segundo grau. Precisamos encontrar a equação reduzida da quádrica dada, classificá-la e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida se encontra. Para isso, vamos precisar mexer com álgebra linear, principalmente com mudança de coordenadas e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
. Para simplificar essa equação e chegar na forma reduzida, precisamos eliminar o termo misto
. Isso geralmente é feito através de uma rotação das coordenadas.
Passo 3
Vamos considerar uma rotação no plano
. Para isso, vamos usar uma matriz de rotação que vai transformar as variáveis
e
de modo a eliminar o termo misto. A fórmula geral para eliminar o termo
envolve encontrar um ângulo
tal que:
Onde, na nossa equação,
,
, e
.
Passo 4
Calculando
:
Isso significa que
ou
. Portanto, a rotação a ser aplicada é de 45 graus.
Passo 5
Agora, aplicamos a rotação de 45 graus nas coordenadas
e
. As novas coordenadas serão:
Substituindo essas expressões na equação original:
Passo 6
Simplificando os termos:
Explicando: expandimos os termos quadráticos e combinamos os termos semelhantes.
Passo 7
Continuando a simplificação:
Passo 8
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 9
Chegamos à equação reduzida:
. Agora, vamos classificar essa quádrica. Observamos que os coeficientes dos termos quadráticos têm sinais diferentes, o que indica que é um Hiperbolóide de Uma Folha.
Passo 10
Por último, descrevemos o sistema de referência onde a equação está reduzida. Nesse sistema:
- O eixo
e o eixo são os eixos principais da hipérbole. - O eixo
está relacionado à abertura do hiperbolóide. - Não há termos lineares, indicando que o centro da superfície está na origem.
Resposta
A equação reduzida da quádrica é
. Ela é um Hiperbolóide de Uma Folha e está situada em um sistema de referência onde os eixos
e
são principais, com o eixo
determinando a abertura da superfície, e o centro localizado na origem.