Para cada uma das quádricas descritas pelas equações a seguir, encontre sua equação reduzida, classifique e descreva o sistema de referência onde temos esta equação reduzida

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre quádricas, que são superfícies no espaço definidas por equações de segundo grau. Precisamos encontrar a equação reduzida da quádrica dada, classificá-la e descrever o sistema de referência onde essa equação reduzida se encontra. Para isso, vamos precisar mexer com álgebra linear, principalmente com mudança de coordenadas e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos: . Para simplificar essa equação e chegar na forma reduzida, precisamos eliminar o termo misto . Isso geralmente é feito através de uma rotação das coordenadas.

Passo 3

Vamos considerar uma rotação no plano . Para isso, vamos usar uma matriz de rotação que vai transformar as variáveis e de modo a eliminar o termo misto. A fórmula geral para eliminar o termo envolve encontrar um ângulo tal que:
Onde, na nossa equação, , , e .

Passo 4

Calculando :
Isso significa que ou . Portanto, a rotação a ser aplicada é de 45 graus.

Passo 5

Agora, aplicamos a rotação de 45 graus nas coordenadas e . As novas coordenadas serão:
Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 6

Simplificando os termos:
Explicando: expandimos os termos quadráticos e combinamos os termos semelhantes.

Passo 7

Continuando a simplificação:

Passo 8

Agora, somamos os termos semelhantes:

Passo 9

Chegamos à equação reduzida: . Agora, vamos classificar essa quádrica. Observamos que os coeficientes dos termos quadráticos têm sinais diferentes, o que indica que é um Hiperbolóide de Uma Folha.

Passo 10

Por último, descrevemos o sistema de referência onde a equação está reduzida. Nesse sistema:
  • O eixo e o eixo são os eixos principais da hipérbole.
  • O eixo está relacionado à abertura do hiperbolóide.
  • Não há termos lineares, indicando que o centro da superfície está na origem.

Resposta

A equação reduzida da quádrica é . Ela é um Hiperbolóide de Uma Folha e está situada em um sistema de referência onde os eixos e são principais, com o eixo determinando a abertura da superfície, e o centro localizado na origem.

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Considere a matriz descrita por
Mostre que os autovalores de são e .