Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto Q^2=(a, b) ; a, b in Q, com as operações usuais, é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão nos pergunta se o conjunto Q^2 = (a, b) ; a, b in Q, com as operações normais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o que define um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os números reais R) é um conjunto onde você pode adicionar vetores e multiplicar por escalares desse campo, seguindo certas regras (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.).

Passo 3

No nosso caso, o conjunto Q^2 consiste em pares ordenados onde ambos os componentes são números racionais. As operações usuais de adição e multiplicação por escalar são as mesmas que usamos normalmente: para adicionar dois vetores, somamos componente a componente, e para multiplicar por um escalar real, multiplicamos cada componente por esse número real.

Passo 4

Agora, vamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial s��o satisfeitas. Uma das propriedades importantes é que, para qualquer vetor no espaço, multiplicar por um escalar deve resultar em outro vetor no mesmo espaço.

Passo 5

Pensemos em um vetor qualquer em Q^2, por exemplo, (1, 1), e multipliquemos por um escalar real, digamos raiz2. Isso nos dá (raiz2 cdot 1, raiz2 cdot 1) = (raiz2, raiz2). Mas o que é isso? raiz2 não é um número racional, então o resultado não está em Q^2.

Passo 6

Isso significa que há pelo menos um caso em que a multiplicação por um escalar real leva a um vetor que não pertence a Q^2. Portanto, a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar não é satisfeita.

Resposta

FALSO. O conjunto Q^2, com as operações usuais, não é um espaço vetorial real, pois a multiplicação por escalares reais pode resultar em vetores fora de Q^2.

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