Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto
, com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
© O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão nos pergunta se o conjunto
, com as operações normais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre os números reais. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o que define um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, os números reais
) é um conjunto onde você pode adicionar vetores e multiplicar por escalares desse campo, seguindo certas regras (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.).
Passo 3
No nosso caso, o conjunto
consiste em pares ordenados onde ambos os componentes são números racionais. As operações usuais de adição e multiplicação por escalar são as mesmas que usamos normalmente: para adicionar dois vetores, somamos componente a componente, e para multiplicar por um escalar real, multiplicamos cada componente por esse número real.
Passo 4
Agora, vamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial s��o satisfeitas. Uma das propriedades importantes é que, para qualquer vetor no espaço, multiplicar por um escalar deve resultar em outro vetor no mesmo espaço.
Passo 5
Pensemos em um vetor qualquer em
, por exemplo,
, e multipliquemos por um escalar real, digamos
. Isso nos dá
. Mas o que é isso?
não é um número racional, então o resultado não está em
.
Passo 6
Isso significa que há pelo menos um caso em que a multiplicação por um escalar real leva a um vetor que não pertence a
. Portanto, a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar não é satisfeita.
Resposta
FALSO. O conjunto
, com as operações usuais, não é um espaço vetorial real, pois a multiplicação por escalares reais pode resultar em vetores fora de
.