Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2).
(b) S=[lla & b b & c] ; a, b, c in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto S = a & b b & c ; , a, b, c in R que consiste em matrizes do tipo:
O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se a gente pegar duas matrizes em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar uma matriz em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Verificando se a matriz zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 :
A matriz zero em a = 0, b = 0, c = 0 é:
Para que a matriz zero esteja em , precisamos encontrar valores de que satisfaçam:
Isso é claramente possível, então a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Pegamos duas matrizes quaisquer em A = a & b b & c , B = d & e e & f :
A + B = a + d & b + e b + e & c + f
Vamos somar e :
Observamos que , e são números reais, já que . Portanto, a soma também pertence a .

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz qualquer em A = a & b b & c , k in R e um escalar kA = ka & kb kb & kc :
Multiplicamos por :
Como são números reais, a matriz também pertence a .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

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