Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em matrizes do tipo:
O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço , que é o conjunto de todas as matrizes com números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se a gente pegar duas matrizes em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar uma matriz em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Verificando se a matriz zero está em :
A matriz zero em é:
Para que a matriz zero esteja em , precisamos encontrar valores de que satisfaçam:
Isso é claramente possível, então a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Pegamos duas matrizes quaisquer em :
Vamos somar e :
Observamos que , e são números reais, já que . Portanto, a soma também pertence a .

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz qualquer em e um escalar :
Multiplicamos por :
Como são números reais, a matriz também pertence a .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de porque contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

a) Considere ̧. Calcule onde e
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
Para cada conjunto abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e .