Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em matrizes
do tipo:
O objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço do espaço
, que é o conjunto de todas as matrizes
com números reais. Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em
. - Fechado sob adição: Se a gente pegar duas matrizes em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar uma matriz em
por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Verificando se a matriz zero está em
:
A matriz zero em
é:
Para que a matriz zero esteja em
, precisamos encontrar valores de
que satisfaçam:
Isso é claramente possível, então a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Pegamos duas matrizes quaisquer em
:
Vamos somar
e
:
Observamos que
,
e
são números reais, já que
. Portanto, a soma
também pertence a
.
Passo 5
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz qualquer em
e um escalar
:
Multiplicamos
por
:
Como
são números reais, a matriz
também pertence a
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
porque contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
a) Considere
. Calcule
onde
e
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Julgue como verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
© O conjunto , com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
© O conjunto
Para cada conjunto
abaixo, apresentam-se as definições de soma e multiplicação por escalar. Mostre quais são os espaços vetoriais.
(a) e
.
(a)