Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e uma transformação linear que é a multiplicação por essa matriz. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em conceitos como imagem, núcleo, posto e nulidade de uma transformação linear e de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem e o núcleo de , além de calcular o posto e a nulidade tanto de quanto da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os possíveis vetores que você consegue obter aplicando a qualquer vetor do espaço de partida. Uma base da imagem é um conjunto de vetores que gera toda a imagem.
Passo 3
Para encontrar a base da imagem de A = 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0 , que é a multiplicação pela matriz , precisamos encontrar as colunas da matriz que são linearmente independentes. Isso porque a imagem é gerada pelas colunas da matriz.
A matriz dada é:
Passo 4
Vamos analisar as colunas de 2 4 0 :
Primeira coluna: 0 0 0
Segunda coluna: -1 -2 0
Terceira coluna:
Note que a segunda coluna é zero, então ela não contribui para a imagem. Além disso, a terceira coluna é um múltiplo da primeira (multiplicada por ), então também não é independente.
Passo 5
Portanto, apenas a primeira coluna é necessária para gerar a imagem. Assim, uma base da imagem de 2 4 0 é composta apenas pela primeira coluna de :
Passo 6
Agora, vamos para o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. Em outras palavras, resolvemos .
Passo 7
Vamos escrever o sistema de equações correspondente:
Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, então ela não adiciona nova informação. Vamos resolver a primeira equação:
2x1 - x3 = 0 implies x3 = 2x1
O x1 = t x2 = s x3 = 2t não está presente nas equações, então ele pode ser qualquer valor. Portanto, podemos expressar as soluções em termos de parâmetros:
onde e são números reais.
Passo 9
Escrevendo isso em forma vetorial:
x = t 1 0 2 + s 0 1 0
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores 1 0 2 e 0 1 0 .
Passo 10
Portanto, uma base do núcleo de 1 0 2 , 0 1 0 é:
Passo 11
Agora, vamos calcular o posto e a nulidade de . O posto é a dimensão da imagem de e a nulidade é a dimensão do núcleo de .
Já encontramos que:
A imagem tem uma base com 1 vetor, então o posto de é 1.
O núcleo tem uma base com 2 vetores, então a nulidade de é 2.
Passo 12
Por fim, como é a multiplicação pela matriz , o posto e a nulidade de são iguais aos de . Portanto: