Nos Exercícios 10-13, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
(a) uma base da imagem de T
(b) uma base do núcleo de T
© o posto e a nulidade de T
(d) o posto e a nulidade de A
11. A=[rrr2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz e uma transformação linear que é a multiplicação por essa matriz. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em conceitos como imagem, núcleo, posto e nulidade de uma transformação linear e de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a imagem e o núcleo de , além de calcular o posto e a nulidade tanto de quanto da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os possíveis vetores que você consegue obter aplicando a qualquer vetor do espaço de partida. Uma base da imagem é um conjunto de vetores que gera toda a imagem.

Passo 3

Para encontrar a base da imagem de A = 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0 , que é a multiplicação pela matriz , precisamos encontrar as colunas da matriz que são linearmente independentes. Isso porque a imagem é gerada pelas colunas da matriz.
A matriz dada é:

Passo 4

Vamos analisar as colunas de 2 4 0 :
  • Primeira coluna: 0 0 0
  • Segunda coluna: -1 -2 0
  • Terceira coluna:
Note que a segunda coluna é zero, então ela não contribui para a imagem. Além disso, a terceira coluna é um múltiplo da primeira (multiplicada por ), então também não é independente.

Passo 5

Portanto, apenas a primeira coluna é necessária para gerar a imagem. Assim, uma base da imagem de 2 4 0 é composta apenas pela primeira coluna de :

Passo 6

Agora, vamos para o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultam no vetor zero. Em outras palavras, resolvemos .

Passo 7

Vamos escrever o sistema de equações correspondente:
2x1 + 0x2 - x3 = 0 4x1 + 0x2 - 2x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0
Simplificando, temos:
2x1 - x3 = 0 4x1 - 2x3 = 0 0 = 0

Passo 8

Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, então ela não adiciona nova informação. Vamos resolver a primeira equação:
2x1 - x3 = 0 implies x3 = 2x1
O x1 = t x2 = s x3 = 2t não está presente nas equações, então ele pode ser qualquer valor. Portanto, podemos expressar as soluções em termos de parâmetros:
onde e são números reais.

Passo 9

Escrevendo isso em forma vetorial:
x = t 1 0 2 + s 0 1 0
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores 1 0 2 e 0 1 0 .

Passo 10

Portanto, uma base do núcleo de 1 0 2 , 0 1 0 é:

Passo 11

Agora, vamos calcular o posto e a nulidade de . O posto é a dimensão da imagem de e a nulidade é a dimensão do núcleo de .
Já encontramos que:
  • A imagem tem uma base com 1 vetor, então o posto de é 1.
  • O núcleo tem uma base com 2 vetores, então a nulidade de é 2.

Passo 12

Por fim, como é a multiplicação pela matriz , o posto e a nulidade de são iguais aos de . Portanto:
  • Posto de = 1
  • Nulidade de = 2

Resposta

(a) Uma base da imagem de 2 4 0 é 1 0 2 .
(b) Uma base do núcleo de 0 1 0 é .
© O posto de é 1 e a nulidade de é 2.
(d) O posto de é 1 e a nulidade de é 2.

Exercícios relacionados