Sejam
de
espaço euclidiano tais que
. Determinar
.
Soluçâo
Logo
. Então
.
Soluçâo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá falando. Temos dois vetores,
e
, num espaço euclidiano. Sabemos que as normas desses vetores são
e
, ou seja, ambos têm comprimento 1. Além disso, a norma da diferença entre eles,
, é igual a 2. A gente precisa descobrir o produto interno entre
e
, que é representado por
. Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor pode ser expressa usando o produto interno. Especificamente,
. Isso nos dá uma forma de relacionar as normas com o produto interno que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos expandir a expressão do produto interno:
Aqui, usamos a propriedade distributiva do produto interno.
Passo 4
Sabemos que
e
. Substituindo os valores que temos:
Como
e
, isso fica:
Passo 5
Calculando os quadrados:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
para encontrar
:
Resposta
O produto interno entre
e
é
.