Sejam u e v v e t o r e s de u m espaço euclidiano tais que |v|=1,|u|=1 e|u-v|=2. Determinar lang<=u, vrang<=.
Soluçâo
4=|u-v|^2=lang<= u-v, u-vrang<==|u|^2-2lang<= u, v>+|v|^2
Logo 2lang<= u, vrang<==-4+1+1=-2. Então lang<= u, vrang<==-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá falando. Temos dois vetores, u e v, num espaço euclidiano. Sabemos que as normas desses vetores são |u| = 1 e |v| = 1, ou seja, ambos têm comprimento 1. Além disso, a norma da diferença entre eles, |u - v|, é igual a 2. A gente precisa descobrir o produto interno entre u e v, que é representado por lang<= u, v rang<=. Para resolver isso, vamos usar propriedades das normas e do produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor pode ser expressa usando o produto interno. Especificamente, |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<=. Isso nos dá uma forma de relacionar as normas com o produto interno que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir a expressão do produto interno:
|u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<=
Aqui, usamos a propriedade distributiva do produto interno.

Passo 4

Sabemos que lang<= u, u rang<= = |u|^2 e lang<= v, v rang<= = |v|^2. Substituindo os valores que temos:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Como |u| = 1 e |v| = 1, isso fica:
2^2 = 1^2 - 2lang<= u, v rang<= + 1^2

Passo 5

Calculando os quadrados:
4 = 1 - 2lang<= u, v rang<= + 1
Simplificando:
4 = 2 - 2lang<= u, v rang<=

Passo 6

Agora, vamos isolar -2lang<= u, v rang<=:
4 - 2 = -2lang<= u, v rang<= 2 = -2lang<= u, v rang<=

Passo 7

Dividindo ambos os lados por -2 para encontrar lang<= u, v rang<=:
lang<= u, v rang<= = -1

Resposta

O produto interno entre u e v é lang<= u, v rang<= = -1.

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