Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
b)

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício. A gente precisa encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Isso está relacionado com análise de conjuntos numéricos e limites. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as frações com denominadores naturais e como as diferenças dessas frações se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os elementos de . Aqui, e são números naturais positivos, ou seja, . Então, e são frações positivas que diminuem à medida que e aumentam.

Passo 3

Agora, vamos analisar a diferença . Dependendo dos valores de e , essa diferença pode ser positiva, negativa ou zero.
  • Quando : então
  • Quando :
  • Quando : então

Passo 4

Para encontrar o supremo de , buscamos o maior valor que os elementos de podem atingir. Observando que atinge seu valor máximo quando , ou seja, . Da mesma forma, para , o menor valor que pode ter é quando , que também é 1.
Então, o maior valor de ocorre quando e tende ao infinito. Nesse caso:
Portanto, o supremo de é 1.

Passo 5

Para encontrar o ínfimo de , buscamos o menor valor que os elementos de podem atingir. Similarmente, o menor valor ocorre quando e tende ao infinito:
Portanto, o ínfimo de é -1.

Resposta

O ínfimo de é -1 e o supremo de é 1.

Exercícios relacionados

Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
c) e
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
Mostre que
Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)