Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita
é igual a
. Isso envolve séries infinitas e um pouco de álgebra para simplificar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Passo 4
Vamos escolher
para eliminar
:
Agora, escolhemos
para eliminar
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Substituindo de volta na soma original:
Passo 7
Observamos que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando. Vamos ver um exemplo com os primeiros termos:
Perceba que
cancela com
, e assim por diante, deixando apenas o primeiro termo
.
Passo 8
Portanto, a soma infinita simplifica para:
Resposta
A soma
é igual a
.