Mostre que sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n+5)=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita é igual a . Isso envolve séries infinitas e um pouco de álgebra para simplificar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar. Queremos encontrar constantes 1(4n+1)(4n+5) = A4n+1 + B4n+5 e tais que:

Passo 3

Para encontrar 1 = A(4n+5) + B(4n+1) e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação.

Passo 4

Vamos escolher 1 = A(4(-14)+5) + B(4(-14)+1) 1 = A( -1 + 5 ) + B( -1 + 1 ) 1 = 4A A = 14 para eliminar 1 = A(4(-54)+5) + B(4(-54)+1) 1 = A( -5 + 5 ) + B( -5 + 1 ) 1 = -4B B = -14 :
Agora, escolhemos para eliminar :

Passo 5

Agora que encontramos 1(4n+1)(4n+5) = 144n+1 - 144n+5 = 14(14n+1 - 14n+5) e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Substituindo de volta na soma original:
sumn=0^infty 1(4n+1)(4n+5) = 14 sumn=0^infty (14n+1 - 14n+5)

Passo 7

Observamos que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando. Vamos ver um exemplo com os primeiros termos:
14 [ (11 - 15) + (15 - 19) + (19 - 113) + cdots ]
Perceba que cancela com , e assim por diante, deixando apenas o primeiro termo .

Passo 8

Portanto, a soma infinita simplifica para:
14 times 11 = 14

Resposta

A soma é igual a .

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