Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita é igual a . Isso envolve séries infinitas e um pouco de álgebra para simplificar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar. Queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 3
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação.
Passo 4
Vamos escolher para eliminar :
Agora, escolhemos para eliminar :
Passo 5
Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Substituindo de volta na soma original:
Passo 7
Observamos que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando. Vamos ver um exemplo com os primeiros termos:
Perceba que cancela com , e assim por diante, deixando apenas o primeiro termo .