Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a soma infinita é igual a . Isso envolve séries infinitas e um pouco de álgebra para simplificar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma usando frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplificam a equação.

Passo 4

Vamos escolher para eliminar :
Agora, escolhemos para eliminar :

Passo 5

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Substituindo de volta na soma original:

Passo 7

Observamos que essa é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelando. Vamos ver um exemplo com os primeiros termos:
Perceba que cancela com , e assim por diante, deixando apenas o primeiro termo .

Passo 8

Portanto, a soma infinita simplifica para:

Resposta

A soma é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
b)
Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
c) e
Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)