Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma. sumn=1^infty 12 n(2 n-1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que ver se a série converge ou diverge, usando uma soma telescópica. Isso envolve entender um pouquinho de séries infinitas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão geral da série. Queremos reescrever de um jeito que fique mais fácil de somar. Para isso, usamos frações parciais, que ajudam a separar a expressão em partes menores.

Passo 3

Vamos encontrar constantes 12n(2n-1) = A2n-1 + B2n e 1 = A(2n) + B(2n-1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 4

Expandindo a equação:
1 = 2A n + B(2n) - B
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (2A + 2B)n - B
Como essa igualdade deve valer para todo 2A + 2B = 0 (coeficiente de n) , os coeficientes dos termos com -B = 1 (termo constante) e os constantes devem ser iguais em ambos os lados. Portanto:
B = -1
2A + 2(-1) = 0 Rightarrow 2A - 2 = 0 Rightarrow A = 1
Resolvendo essas equações:

Passo 5

Agora que temos 12n(2n-1) = 12n-1 - 12n e sumn=1^infty ( 12n-1 - 12n ) , podemos reescrever a fração original:
Isso nos permite reescrever a série como:

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
( 11 - 12 ) + ( 13 - 14 ) + ( 15 - 16 ) + cdots
Gambiarras assim é o que chamamos de soma telescópica, onde muitos termos vão se cancelando.

Passo 7

Observando os termos, vemos que:
SN = (1 - 12) + (13 - 14) + cdots + (12N-1 - 12N)
Muitos desses vão se cancelando com do próximo termo.

Passo 8

Após simplificar, o que sobra na soma parcial SN = 1 - 12N é:

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando limN to infty SN = limN to infty (1 - 12N) = 1 - 0 = 1 vai para o infinito:

Resposta

A série é convergente e sua soma é igual a 1.

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