Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que ver se a série
converge ou diverge, usando uma soma telescópica. Isso envolve entender um pouquinho de séries infinitas e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão geral da série. Queremos reescrever
de um jeito que fique mais fácil de somar. Para isso, usamos frações parciais, que ajudam a separar a expressão em partes menores.
Passo 3
Vamos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 4
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Como essa igualdade deve valer para todo
, os coeficientes dos termos com
e os constantes devem ser iguais em ambos os lados. Portanto:
Resolvendo essas equações:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Isso nos permite reescrever a série como:
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
Gambiarras assim é o que chamamos de soma telescópica, onde muitos termos vão se cancelando.
Passo 7
Observando os termos, vemos que:
Muitos desses
vão se cancelando com
do próximo termo.
Passo 8
Após simplificar, o que sobra na soma parcial
é:
Passo 9
Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando
vai para o infinito:
Resposta
A série
é convergente e sua soma é igual a 1.