Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem que ver se a série converge ou diverge, usando uma soma telescópica. Isso envolve entender um pouquinho de séries infinitas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão geral da série. Queremos reescrever de um jeito que fique mais fácil de somar. Para isso, usamos frações parciais, que ajudam a separar a expressão em partes menores.

Passo 3

Vamos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 4

Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Como essa igualdade deve valer para todo , os coeficientes dos termos com e os constantes devem ser iguais em ambos os lados. Portanto:
Resolvendo essas equações:

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:
Isso nos permite reescrever a série como:

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos dessa série para ver o que acontece:
Gambiarras assim é o que chamamos de soma telescópica, onde muitos termos vão se cancelando.

Passo 7

Observando os termos, vemos que:
Muitos desses vão se cancelando com do próximo termo.

Passo 8

Após simplificar, o que sobra na soma parcial é:

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando vai para o infinito:

Resposta

A série é convergente e sua soma é igual a 1.

Exercícios relacionados

Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
b)
Seja e
Use a Regra da Cadeia para caminhos para avaliar em e .
Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
c) e
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
b)