Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente verifique se o conjunto é fechado no espaço . Aqui, estamos lidando com topologia, que estuda as propriedades dos conjuntos que permanecem inalteradas sob deformações suaves. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos limites.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos saber o que significa um conjunto ser fechado no espaço . Em termos simples, um conjunto é fechado se, sempre que você tem uma sequência de pontos dentro desse conjunto que converge para algum ponto no espaço, esse ponto também está incluído no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado: . Esse conjunto consiste em todos os pares ordenados onde e são números inteiros. Basicamente, são todos os pontos no plano que estão nas interseções das linhas de grade formadas pelos números inteiros.
Passo 4
Vamos pensar em sequências de pontos nesse conjunto. Por exemplo, considere uma sequência onde cada e são inteiros. Se essa sequência converge para algum ponto em , então e também devem ser inteiros para que esteja no conjunto original. Isso porque os inteiros são valores discretos e não podem “chegar” a outro número através de uma sequência de inteiros, a menos que esse outro número seja ele mesmo inteiro.
Passo 5
Além disso, sabemos que os pontos com coordenadas inteiras são isolados uns dos outros. Ou seja, não há pontos do conjunto muito próximos uns dos outros, o que significa que não existem pontos limites “entre” eles que não estejam no conjunto.
Passo 6
Como toda sequência de pontos do conjunto que converge no espaço tem como limite um ponto que também está no conjunto, podemos concluir que o conjunto é fechado.