Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente verifique se o conjunto é fechado no espaço . Aqui, estamos lidando com topologia, que estuda as propriedades dos conjuntos que permanecem inalteradas sob deformações suaves. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos limites.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos saber o que significa um conjunto ser fechado no espaço . Em termos simples, um conjunto é fechado se, sempre que você tem uma sequência de pontos dentro desse conjunto que converge para algum ponto no espaço, esse ponto também está incluído no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: . Esse conjunto consiste em todos os pares ordenados onde e são números inteiros. Basicamente, são todos os pontos no plano que estão nas interseções das linhas de grade formadas pelos números inteiros.

Passo 4

Vamos pensar em sequências de pontos nesse conjunto. Por exemplo, considere uma sequência onde cada e são inteiros. Se essa sequência converge para algum ponto em , então e também devem ser inteiros para que esteja no conjunto original. Isso porque os inteiros são valores discretos e não podem “chegar” a outro número através de uma sequência de inteiros, a menos que esse outro número seja ele mesmo inteiro.

Passo 5

Além disso, sabemos que os pontos com coordenadas inteiras são isolados uns dos outros. Ou seja, não há pontos do conjunto muito próximos uns dos outros, o que significa que não existem pontos limites “entre” eles que não estejam no conjunto.

Passo 6

Como toda sequência de pontos do conjunto que converge no espaço tem como limite um ponto que também está no conjunto, podemos concluir que o conjunto é fechado.

Resposta

O conjunto é fechado em .

Exercícios relacionados

Mostre que
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
b)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)
Mostre que