Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em
.
c)
e
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre verificar se determinados conjuntos são fechados no espaço
. O conceito aqui está relacionado a “conjuntos fechados” na matemática, que basicamente são conjuntos que contêm todos os seus pontos de limite. Para resolver, vamos analisar o conjunto dado e verificar se ele satisfaz essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto que estamos analisando:
. Isso descreve uma linha vertical em
onde o valor de
é sempre 1, e
varia de 1 inclusive até, mas não incluindo, 3.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Ou seja, se você pegar uma sequência de pontos dentro do conjunto que converge para um ponto, esse ponto limite também deve estar dentro do conjunto para que ele seja fechado.
Passo 4
Vamos analisar os pontos de fronteira do nosso conjunto. No caso dessa linha vertical
com
, os pontos de fronteira são aqueles em que
e
. O ponto onde
está incluído no conjunto, mas o ponto onde
não está, já que o 3 não é incluído (o intervalo é aberto nesse extremo).
Passo 5
Como o conjunto não inclui o ponto onde
, isso significa que ele não contém todos os seus pontos de fronteira. Portanto, não é um conjunto fechado em
.
Resposta
O conjunto
não é fechado em
.