Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
a)
Passo 1
Beleza, pessoal! A gente tem uma inequação aqui que diz: . Nosso objetivo é mostrar que todas as soluções dessa inequação estão no conjunto . Vamos usar conceitos de valor absoluto e resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o valor absoluto. A expressão representa a distância de até zero na reta numérica. Quando temos uma desigualdade como , estamos dizendo que essa distância deve ser menor que .
Passo 3
Para resolver , precisamos considerar que o lado direito da desigualdade, , deve ser positivo. Isso porque o valor absoluto sempre é não negativo, e não faz sentido comparar algo não negativo com um número negativo nesse contexto.
Então, primeiro, vamos garantir que :
Isso nos dá uma condição inicial: .
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação considerando que . Sabemos que:
Aplicando isso à nossa inequação:
Vamos resolver as duas partes dessa desigualdade.
Passo 5
Primeiro, a parte esquerda:
Simplificando:
Essa última desigualdade é sempre verdadeira, então não nos dá mais informações sobre .
Passo 6
Agora, a parte direita da desigualdade:
Vamos resolver para :
Passo 7
Lembrando da condição inicial que obtivemos: . E agora encontramos que . A interseção dessas duas condições é , pois todo número menor que -1 também é menor que 1.