Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em R ) é o conjunto S dado:
a) |x + 3| < 1 - x ; S = (-infinito, -1)

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem uma inequação aqui que diz: . Nosso objetivo é mostrar que todas as soluções dessa inequação estão no conjunto . Vamos usar conceitos de valor absoluto e resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor absoluto. A expressão representa a distância de até zero na reta numérica. Quando temos uma desigualdade como , estamos dizendo que essa distância deve ser menor que .

Passo 3

Para resolver , precisamos considerar que o lado direito da desigualdade, , deve ser positivo. Isso porque o valor absoluto sempre é não negativo, e não faz sentido comparar algo não negativo com um número negativo nesse contexto.
Então, primeiro, vamos garantir que :
Isso nos dá uma condição inicial: .

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação considerando que . Sabemos que:
Aplicando isso à nossa inequação:
Vamos resolver as duas partes dessa desigualdade.

Passo 5

Primeiro, a parte esquerda:
Simplificando:
Essa última desigualdade é sempre verdadeira, então não nos dá mais informações sobre .

Passo 6

Agora, a parte direita da desigualdade:
Vamos resolver para :

Passo 7

Lembrando da condição inicial que obtivemos: . E agora encontramos que . A interseção dessas duas condições é , pois todo número menor que -1 também é menor que 1.

Resposta

Portanto, o conjunto solução da inequação é .

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