Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Isso envolve conceitos de Análise Real, especificamente sobre infimum (ínfimo) e supremum (supremo) de conjuntos numéricos. Para resolver isso, vamos analisar como os valores da fração se comportam conforme e variam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a fração representa. Aqui, é um número natural e é um número natural positivo. À medida que e aumentam, o valor da fração muda. Nosso objetivo é encontrar os menores e maiores limites que esses valores podem atingir, ou seja, o ínfimo e o supremo de .
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da fração quando varia mantendo fixo e vice-versa.
Quando aumenta e é fixo:
Conforme cresce, também cresce, mas a fração tende a se aproximar de 1. Isso porque o termo se torna menos significativo em relação a .
Quando aumenta e é fixo:
Conforme cresce, aumenta mais que , fazendo com que diminua, aproximando-se de 0.
Passo 4
Com base nessa análise, percebemos que os valores de podem ficar tão próximos de 0 quanto quisermos, mas nunca serão exatamente 0, já que é sempre positivo. Da mesma forma, os valores podem se aproximar de 1, mas nunca alcançá-lo completamente, pois sempre contribui para o denominador.
Passo 5
Portanto:
O ínfimo de é o menor limite que os elementos de podem se aproximar, que é 0.
O supremo de é o maior limite que os elementos de podem se aproximar, que é 1.