Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Isso envolve conceitos de Análise Real, especificamente sobre infimum (ínfimo) e supremum (supremo) de conjuntos numéricos. Para resolver isso, vamos analisar como os valores da fração se comportam conforme e variam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a fração representa. Aqui, é um número natural e é um número natural positivo. À medida que e aumentam, o valor da fração muda. Nosso objetivo é encontrar os menores e maiores limites que esses valores podem atingir, ou seja, o ínfimo e o supremo de .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da fração quando varia mantendo fixo e vice-versa.
  1. Quando aumenta e é fixo:
    • Conforme cresce, também cresce, mas a fração tende a se aproximar de 1. Isso porque o termo se torna menos significativo em relação a .
  2. Quando aumenta e é fixo:
    • Conforme cresce, aumenta mais que , fazendo com que diminua, aproximando-se de 0.

Passo 4

Com base nessa análise, percebemos que os valores de podem ficar tão próximos de 0 quanto quisermos, mas nunca serão exatamente 0, já que é sempre positivo. Da mesma forma, os valores podem se aproximar de 1, mas nunca alcançá-lo completamente, pois sempre contribui para o denominador.

Passo 5

Portanto:
  • O ínfimo de é o menor limite que os elementos de podem se aproximar, que é 0.
  • O supremo de é o maior limite que os elementos de podem se aproximar, que é 1.

Resposta

O ínfimo de é 0 e o supremo de é 1.

Exercícios relacionados

Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
a)
Se , para e , encontre uma fórmula para no intervalo . Faça um sboço do gráfico de .
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
f)
Seja e .
Calcule e .