Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Basicamente, isso significa que queremos saber o menor limite (ínfimo) e o maior limite (supremo) dos números que estão nesse conjunto. Para isso, vamos analisar como os elementos de se comportam conforme varia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos de são formados. A expressão geral é . O faz com que o sinal do termo dependa de :
Se for par, , então o termo fica .
Se for ímpar, , então o termo fica .
Então, o conjunto está formado por duas sequências diferentes:
quando é par.
í quando é ímpar.
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas sequências separadamente para entender seus limites inferiores e superiores.
Para :
À medida que aumenta, diminui, então se aproxima de 1.
O menor valor ocorre quando é o menor número par, que é 2: .
Assim, o ínfimo de é 0,5 e o supremo é 1.
Para í:
À medida que aumenta, diminui, então se aproxima de 1.
O maior valor ocorre quando é o menor número ímpar, que é 1: .
Assim, o ínfimo de í é 1 e o supremo é 2.
Passo 4
Agora, juntando as duas análises:
Os menores valores de vêm de , com o menor sendo 0,5.
Os maiores valores de vêm de í, com o maior sendo 2.
Além disso, tanto quanto í se aproximam de 1 conforme aumenta, mas nunca passam desse limite.