Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Basicamente, isso significa que queremos saber o menor limite (ínfimo) e o maior limite (supremo) dos números que estão nesse conjunto. Para isso, vamos analisar como os elementos de se comportam conforme varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos de são formados. A expressão geral é . O faz com que o sinal do termo dependa de :
  • Se for par, , então o termo fica .
  • Se for ímpar, , então o termo fica .
Então, o conjunto está formado por duas sequências diferentes:
  1. quando é par.
  2. í quando é ímpar.

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas sequências separadamente para entender seus limites inferiores e superiores.
Para :
  • À medida que aumenta, diminui, então se aproxima de 1.
  • O menor valor ocorre quando é o menor número par, que é 2: .
  • Assim, o ínfimo de é 0,5 e o supremo é 1.
Para í:
  • À medida que aumenta, diminui, então se aproxima de 1.
  • O maior valor ocorre quando é o menor número ímpar, que é 1: .
  • Assim, o ínfimo de í é 1 e o supremo é 2.

Passo 4

Agora, juntando as duas análises:
  • Os menores valores de vêm de , com o menor sendo 0,5.
  • Os maiores valores de vêm de í, com o maior sendo 2.
  • Além disso, tanto quanto í se aproximam de 1 conforme aumenta, mas nunca passam desse limite.

Resposta

O ínfimo de é e o supremo de é .

Exercícios relacionados

Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)
Mostre que
Mostre que
Defina bola aberta de centro e raio no . Interprete geometricamente.