Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma soma infinita onde cada termo é da forma
. Isso está relacionado ao conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam mutuamente, facilitando o cálculo da soma. Para resolver, vamos usar essa ideia de cancelamento.
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos da soma para visualizar melhor:
Passo 3
Observamos que alguns termos se cancelam. Por exemplo,
do primeiro par se cancela com
do terceiro par, e
do segundo par se cancela com
do quarto par, e assim por diante.
Passo 4
Depois desse cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar. No caso, ficam:
Passo 5
Agora, basta somar esses termos restantes:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.