Mostre que sumk=1^infty(1k-1k+2)=32

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma soma infinita onde cada termo é da forma 1k - 1k+2. Isso está relacionado ao conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam mutuamente, facilitando o cálculo da soma. Para resolver, vamos usar essa ideia de cancelamento.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos da soma para visualizar melhor:
(11 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + (14 - 16) + cdots

Passo 3

Observamos que alguns termos se cancelam. Por exemplo, -13 do primeiro par se cancela com 13 do terceiro par, e -14 do segundo par se cancela com 14 do quarto par, e assim por diante.

Passo 4

Depois desse cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar. No caso, ficam:
11 + 12

Passo 5

Agora, basta somar esses termos restantes:
11 + 12 = 1 + 0,5 = 32

Resposta

A soma infinita sumk=1^infty(1k - 1k+2) é igual a 32.

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