Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma soma infinita onde cada termo é da forma . Isso está relacionado ao conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam mutuamente, facilitando o cálculo da soma. Para resolver, vamos usar essa ideia de cancelamento.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos da soma para visualizar melhor:

Passo 3

Observamos que alguns termos se cancelam. Por exemplo, do primeiro par se cancela com do terceiro par, e do segundo par se cancela com do quarto par, e assim por diante.

Passo 4

Depois desse cancelamento, restam apenas os primeiros termos que não têm correspondência para se cancelar. No caso, ficam:

Passo 5

Agora, basta somar esses termos restantes:

Resposta

A soma infinita é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)
Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em .
b)
Defina bola aberta de centro e raio no . Interprete geometricamente.
Mostre que