Defina bola aberta de centro e raio no . Interprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente definir uma bola aberta com centro em e raio no espaço tridimensional . Além disso, precisamos explicar o que isso significa geometricamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços métricos e a definição de bolas abertas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o espaço tridimensional, onde cada ponto é definido por três coordenadas: , e . Agora, uma bola aberta em é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que do ponto central .

Passo 3

Para formalizar isso, usamos a definição de distância Euclidiana no espaço tridimensional. A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:

Passo 4

Com base nisso, a bola aberta de centro e raio é definida como o conjunto de todos os pontos em que satisfazem:
Ou seja,

Passo 5

Geometricamente, isso significa que a bola aberta inclui todos os pontos que estão dentro de uma esfera de raio centrada em , mas não inclui a própria superfície da esfera. Pense em uma bolinha de borracha: a bola aberta seria todo o espaço dentro da bolinha, sem contar a casca externa.

Resposta

Uma bola aberta no espaço tridimensional com centro em e raio é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é menor que . Geometricamente, ela representa todo o espaço interno a uma esfera de raio centrada em , excluindo a superfície da esfera.

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Mostre que
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
g)
Mostre que
Seja e .
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de .