Defina bola aberta de centro e raio no . Interprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente definir uma bola aberta com centro em e raio no espaço tridimensional . Além disso, precisamos explicar o que isso significa geometricamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços métricos e a definição de bolas abertas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que representa o espaço tridimensional, onde cada ponto é definido por três coordenadas: , e . Agora, uma bola aberta em é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que do ponto central .
Passo 3
Para formalizar isso, usamos a definição de distância Euclidiana no espaço tridimensional. A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Passo 4
Com base nisso, a bola aberta de centro e raio é definida como o conjunto de todos os pontos em que satisfazem:
Ou seja,
Passo 5
Geometricamente, isso significa que a bola aberta inclui todos os pontos que estão dentro de uma esfera de raio centrada em , mas não inclui a própria superfície da esfera. Pense em uma bolinha de borracha: a bola aberta seria todo o espaço dentro da bolinha, sem contar a casca externa.
Resposta
Uma bola aberta no espaço tridimensional com centro em e raio é o conjunto de todos os pontos cuja distância até é menor que . Geometricamente, ela representa todo o espaço interno a uma esfera de raio centrada em , excluindo a superfície da esfera.