Defina bola aberta de centro
e raio
no
. Interprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente definir uma bola aberta com centro em
e raio
no espaço tridimensional
. Além disso, precisamos explicar o que isso significa geometricamente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços métricos e a definição de bolas abertas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o espaço tridimensional, onde cada ponto é definido por três coordenadas:
,
e
. Agora, uma bola aberta em
é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância menor que
do ponto central
.
Passo 3
Para formalizar isso, usamos a definição de distância Euclidiana no espaço tridimensional. A distância
entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Passo 4
Com base nisso, a bola aberta de centro
e raio
é definida como o conjunto de todos os pontos
em
que satisfazem:
Ou seja,
Passo 5
Geometricamente, isso significa que a bola aberta inclui todos os pontos que estão dentro de uma esfera de raio
centrada em
, mas não inclui a própria superfície da esfera. Pense em uma bolinha de borracha: a bola aberta seria todo o espaço dentro da bolinha, sem contar a casca externa.
Resposta
Uma bola aberta no espaço tridimensional
com centro em
e raio
é o conjunto de todos os pontos cuja distância até
é menor que
. Geometricamente, ela representa todo o espaço interno a uma esfera de raio
centrada em
, excluindo a superfície da esfera.