Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
h) H = { (n + (-1)^n) / n | n ∈ N* }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Isso envolve conceitos de análise de sequências, especificamente sobre os limites inferior e superior. Para resolver, vamos precisar entender como os termos dessa sequência se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os termos dessa sequência. A expressão pode ser simplificada:
Isso nos mostra que cada termo da sequência é 1 mais ou menos uma fração que depende de .

Passo 3

Vamos calcular alguns termos para visualizar melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que os termos alternam entre valores acima e abaixo de 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento quando cresce. Note que tende a zero conforme aumenta, porque o denominador cresce e o numerador oscila entre 1 e -1. Portanto:
Isso indica que a sequência se aproxima de 1, tanto por cima quanto por baixo.

Passo 5

Com base nisso, podemos determinar o supremo e o ínfimo:
  • Supremo ( ): É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando os termos calculados, o maior valor ocorre quando , que é 1.5. Como os outros termos maiores vão se aproximar de 1, o supremo é 1.5.
  • Ínfimo ( ): É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. O menor valor ocorre quando , que é 0. Além disso, conforme cresce, os termos abaixo de 1 se aproximam de 1, mas nunca são menores que 0. Portanto, o ínfimo é 0.

Resposta

O ínfimo de é 0 e o supremo de é ou 1.5.

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