Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ínfimo e o supremo do conjunto . Isso envolve conceitos de análise de sequências, especificamente sobre os limites inferior e superior. Para resolver, vamos precisar entender como os termos dessa sequência se comportam conforme aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são os termos dessa sequência. A expressão pode ser simplificada:
Isso nos mostra que cada termo da sequência é 1 mais ou menos uma fração que depende de .
Passo 3
Vamos calcular alguns termos para visualizar melhor:
Para :
Para :
Para :
Para :
Vemos que os termos alternam entre valores acima e abaixo de 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento quando cresce. Note que tende a zero conforme aumenta, porque o denominador cresce e o numerador oscila entre 1 e -1. Portanto:
Isso indica que a sequência se aproxima de 1, tanto por cima quanto por baixo.
Passo 5
Com base nisso, podemos determinar o supremo e o ínfimo:
Supremo (): É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Observando os termos calculados, o maior valor ocorre quando , que é 1.5. Como os outros termos maiores vão se aproximar de 1, o supremo é 1.5.
Ínfimo (): É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto. O menor valor ocorre quando , que é 0. Além disso, conforme cresce, os termos abaixo de 1 se aproximam de 1, mas nunca são menores que 0. Portanto, o ínfimo é 0.