As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo x ?
y1 = 1, y2 = x, y3 = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se as funções , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no eixo . Para isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente independentes e usar um método para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Basicamente, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma delas puder ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, não tem como pegar umas e misturar (com constantes) pra chegar na outra.

Passo 3

Para verificar a independência linear, a gente monta uma equação onde uma combinação linear das funções é igual a zero para todo . Então, vamos considerar:
Substituindo as funções dadas:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação:
Essa equação tem que ser verdadeira para todo valor de . Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Vamos igualar cada coeficiente a zero:

Passo 6

A única solução para essas equações é . Isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaça a equação. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções , e são linearmente independentes sobre o eixo .

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