As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se as funções , e são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no eixo . Para isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente independentes e usar um método para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Basicamente, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma delas puder ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, não tem como pegar umas e misturar (com constantes) pra chegar na outra.
Passo 3
Para verificar a independência linear, a gente monta uma equação onde uma combinação linear das funções é igual a zero para todo . Então, vamos considerar:
Substituindo as funções dadas:
Passo 4
Agora, simplificamos a equação:
Essa equação tem que ser verdadeira para todo valor de . Isso significa que os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Vamos igualar cada coeficiente a zero:
Passo 6
A única solução para essas equações é . Isso significa que não existe nenhuma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaça a equação. Logo, as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções , e são linearmente independentes sobre o eixo .