Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto em que .
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

Passo 1

Beleza! Então, a gente precisa calcular a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares para achar essa inclinação. Pra resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas polares para cartesianas e usar a fórmula da derivada para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estamos no gráfico. Quando , o valor de é:
Isso nos dá as coordenadas polares do ponto de interesse: .

Passo 3

Agora, vamos converter essas coordenadas polares para coordenadas cartesianas . As fórmulas de conversão são:
Substituindo e :
Então, o ponto em coordenadas cartesianas é .

Passo 4

Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular naquele ponto. Em coordenadas polares, a derivada pode ser encontrada usando as derivadas de em relação a :

Passo 5

Vamos calcular e .
Sabemos que:
Dado que , então .
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 7

Agora, podemos encontrar no ponto :

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde é -1. A resposta correta é a alternativa b) -1.

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