Calcule a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto em que .
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
Passo 1
Beleza! Então, a gente precisa calcular a inclinação da reta tangente à curva polar no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares para achar essa inclinação. Pra resolver isso, vamos precisar saber como converter coordenadas polares para cartesianas e usar a fórmula da derivada para encontrar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde estamos no gráfico. Quando , o valor de é:
Isso nos dá as coordenadas polares do ponto de interesse: .
Passo 3
Agora, vamos converter essas coordenadas polares para coordenadas cartesianas . As fórmulas de conversão são:
Substituindo e :
Então, o ponto em coordenadas cartesianas é .
Passo 4
Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular naquele ponto. Em coordenadas polares, a derivada pode ser encontrada usando as derivadas de em relação a :
Passo 5
Vamos calcular e .
Sabemos que:
Dado que , então .
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 7
Agora, podemos encontrar no ponto :
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva no ponto onde é -1. A resposta correta é a alternativa b) -1.