Se , para e , encontre uma fórmula para no intervalo . Faça um sboço do gráfico de .

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a função definida no intervalo e sabemos que ela se repete a cada , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula para no intervalo e fazer um esboço do gráfico dessa função.
Aqui, estamos trabalhando com funções periódicas, que são funções que se repetem em intervalos regulares. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como a periodicidade afeta a função nos diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que a função tem um período de , ou seja, ela se repete a cada unidades ao longo do eixo .
Como sabemos a expressão de para , podemos usar a periodicidade para encontrar em outros intervalos, como .

Passo 3

Para encontrar no intervalo , vamos escolher um valor de dentro desse intervalo e adicionarmos o período para trazermos esse valor para o intervalo onde já conhecemos a função.
Por exemplo, se está entre e , então estará entre e , que está dentro do intervalo original .

Passo 4

Aplicando isso, temos:
Substituindo na expressão original:
Então, para , a fórmula da função é:

Passo 5

Agora, vamos resumir:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Vamos fazer um esboço do gráfico da função :
  1. No intervalo , a função é uma linha reta decrescente com inclinação -1, começando em e terminando em .
  2. No intervalo , a função também é uma linha reta decrescente com inclinação -1, mas começa em e termina em .
O gráfico será uma função em forma de “onda” que se repete a cada , com segmentos lineares decrescentes em cada período.

Resposta

A fórmula para no intervalo é:
E o esboço do gráfico de consiste em linhas retas decrescentes com período , conforme descrito nos passos anteriores.

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Seja e . Calcule , onde é um vetor unitário que forma um ângulo com .
Determine para quais valores de 0 ) pode-se afirmar: se e , então .
Para cada inequação abaixo, mostre que seu conjunto solução (em ) é o conjunto dado:
a)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
a) .