De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de R^3 :
(1,2,3),(0,-1,2),(1,4,-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o conjunto de vetores forma uma base de . Para resolver isso, vamos precisar entender bases e independência linear. Basicamente, uma base de precisa ter três vetores que não sejam “cópias” um do outro de forma linear, ou seja, que nenhum vetor possa ser formado combinando os outros.

Passo 2

O primeiro passo para verificar se esses vetores formam uma base é conferir se eles são linearmente independentes. Isso significa que não tem como escrever um dos vetores como combinação dos outros dois. Se forem independentes, eles vão “preencher” todo o espaço , formando uma base.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Então, vamos montar a matriz:
1 & 0 & 1 2 & -1 & 4 3 & 2 & -2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado assim:
det = 1 times [(-1)(-2) - (4)(2)] - 0 times [2(-2) - (4)(3)] + 1 times [2(2) - (-1)(3)]
Aplicando isso na nossa matriz:
det = 1 times [2 - 8] - 0 times [-4 - 12] + 1 times [4 + 3]
det = 1 times (-6) - 0 + 1 times 7
det = -6 + 7 = 1

Resposta

Como o determinante é , os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

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