Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespaço, solução do sistema linear homogêneo:
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que pede para usarmos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal do conjunto de soluções do sistema linear homogêneo:
s:c 2 x+6 y-4 z=0 -3 x-9 y+6 w=0 -x-y-3 z-5 w=0
Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar vetores. Vamos seguir passo a passo para encontrar nossa base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar todas as soluções desse sistema. Para isso, vamos expressar o sistema na forma matricial e resolver usando métodos de eliminação, como o método de Gauss.
A matriz aumentada do sistema é:
2 & 6 & -4 & 0 -3 & -9 & 0 & 6 -1 & -1 & -3 & -5
Nossa meta é reduzir essa matriz para a forma escalonada e encontrar as variáveis livres.
Passo 3
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando-a por -3x -9y +6w =0 Rightarrow 3x +9y -6w =0 para facilitar os cálculos:
2x +6y -4z =0 3x +9y -6w =0 -1x -1y -3z -5w =0
Agora, temos:
Passo 4
Podemos observar que a segunda equação é múltiplo da primeira. Vamos multiplicar a primeira equação por 1.5 times (2x +6y -4z) = 3x +9y -6z :
Comparando com a segunda equação , percebemos que há inconsistências se considerarmos e separadamente, indicando que precisamos desenvolver uma abordagem diferente.
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, expressamos algumas variáveis em termos das outras:
Da primeira equação:
2x +6y -4z =0 Rightarrow x = -3y +2z
Da segunda equação:
3x +9y -6w =0
Substituindo 3(-3y +2z) +9y -6w =0 -9y +6z +9y -6w =0 6z -6w =0 Rightarrow z =w da primeira equação: