Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespaço, solução do sistema linear homogêneo:
s:c 2 x+6 y-4 z=0 -3 x-9 y+6 w=0 -x-y-3 z-5 w=0

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que pede para usarmos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal do conjunto de soluções do sistema linear homogêneo:
s:c 2 x+6 y-4 z=0 -3 x-9 y+6 w=0 -x-y-3 z-5 w=0
Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, espaços vetoriais e o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar vetores. Vamos seguir passo a passo para encontrar nossa base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar todas as soluções desse sistema. Para isso, vamos expressar o sistema na forma matricial e resolver usando métodos de eliminação, como o método de Gauss.
A matriz aumentada do sistema é:
2 & 6 & -4 & 0 -3 & -9 & 0 & 6 -1 & -1 & -3 & -5
Nossa meta é reduzir essa matriz para a forma escalonada e encontrar as variáveis livres.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda equação multiplicando-a por -3x -9y +6w =0 Rightarrow 3x +9y -6w =0 para facilitar os cálculos:
2x +6y -4z =0 3x +9y -6w =0 -1x -1y -3z -5w =0
Agora, temos:

Passo 4

Podemos observar que a segunda equação é múltiplo da primeira. Vamos multiplicar a primeira equação por 1.5 times (2x +6y -4z) = 3x +9y -6z :
Comparando com a segunda equação , percebemos que há inconsistências se considerarmos e separadamente, indicando que precisamos desenvolver uma abordagem diferente.

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, expressamos algumas variáveis em termos das outras:
Da primeira equação:
2x +6y -4z =0 Rightarrow x = -3y +2z
Da segunda equação:
3x +9y -6w =0
Substituindo 3(-3y +2z) +9y -6w =0 -9y +6z +9y -6w =0 6z -6w =0 Rightarrow z =w da primeira equação:
-x - y -3z -5w =0 -(-3y +2z) - y -3z -5w =0 3y -2z -y -3z -5w =0 2y -5z -5w =0
Da terceira equação:
2y -5w -5w =0 2y -10w =0 Rightarrow y =5w
Como já sabemos que :

Passo 6

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = -3y +2z = -3(5w) +2w = -15w +2w = -13w y =5w z =w w = w :
x y z w = w -13 5 1 1
Portanto, a solução geral do sistema pode ser escrita como:

Passo 7

Isso significa que todas as soluções são múltiplos do vetor -13 5 1 1 . Como temos apenas um vetor, já temos uma base para o subespaço das soluções.
Agora, vamos ortonormalizar essa base usando o processo de Gram-Schmidt. Como temos apenas um vetor, basta normalizá-lo.

Passo 8

Para normalizar um vetor, dividimos cada componente pelo seu módulo. O módulo do vetor -13 5 1 1 é:
|v| = raiz(-13)^2 +5^2 +1^2 +1^2 = raiz169 +25 +1 +1 = raiz196 =14
Portanto, o vetor ortonormal é:
u = 114 -13 5 1 1 = -1314 514 114 114

Resposta

A base ortonormal para o subespaço das soluções é o vetor:
-1314 514 114 114

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