Considere o sistema abaixo.

(b) Resolva o sistema para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar aqui é a resolução de sistemas lineares, que basicamente é resolver várias equações ao mesmo tempo para descobrir os valores das incógnitas. Primeiro, vamos substituir os valores de e nas equações para facilitar a resolução.

Passo 2

Substituindo e nas equações, temos o sistema:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Primeiramente, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar algumas variáveis.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora temos uma nova equação: . Vamos guardar essa equação e focar nas outras para continuar eliminando variáveis. Vamos usar a primeira e a terceira equação para eliminar .
Primeiro, reescrevemos as equações:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo essa nova equação da terceira equação:
Isso simplifica para:
Curiosamente, chegamos na mesma equação. Isso significa que temos dependência entre as equações, e uma das variáveis será livre, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a uma delas e encontrar os demais valores com base nisso.

Passo 5

Vamos escolher como a variável livre. Vamos deixar , onde pode ser qualquer número real.
Então, da equação :
Agora, substituímos e nas equações originais para encontrar e .
Usando a primeira equação:
Simplificando:

Passo 6

Vamos usar a terceira equação para encontrar outra relação:
Substituindo :
Vemos que essa equação é a mesma que encontramos anteriormente. Isso confirma que temos infinitas soluções dependendo do valor de .

Resposta

As soluções do sistema para e são:
éú
Onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados

Considere as retas e dadas pelas equações:
Ache a equação da reta paralela a e , contida no plano e que seja equidistante de e .
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespaço, solução do sistema linear homogêneo: