Considere o sistema abaixo.
lx+y-z+w=1 a x+y+z+w=b 3 x+2 y+a w=1+a
(b) Resolva o sistema para a=b=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar aqui é a resolução de sistemas lineares, que basicamente é resolver várias equações ao mesmo tempo para descobrir os valores das incógnitas. Primeiro, vamos substituir os valores de e nas equações para facilitar a resolução.

Passo 2

Substituindo x + y - z + w = 1 2x + y + z + w = 2 3x + 2y + 2w = 3 e nas equações, temos o sistema:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Primeiramente, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar algumas variáveis.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2x + y + z + w) - (x + y - z + w) = 2 - 1
Isso simplifica para:
x + 2z = 1

Passo 4

Agora temos uma nova equação: 2x + 2y - 2z + 2w = 2 . Vamos guardar essa equação e focar nas outras para continuar eliminando variáveis. Vamos usar a primeira e a terceira equação para eliminar (3x + 2y + 2w) - (2x + 2y - 2z + 2w) = 3 - 2 .
Primeiro, reescrevemos as equações:
  1. x + 2z = 1
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo essa nova equação da terceira equação:
Isso simplifica para:
Curiosamente, chegamos na mesma equação. Isso significa que temos dependência entre as equações, e uma das variáveis será livre, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a uma delas e encontrar os demais valores com base nisso.

Passo 5

Vamos escolher x = 1 - 2t como a variável livre. Vamos deixar (1 - 2t) + y - t + w = 1 , onde 1 - 3t + y + w = 1 y + w = 3t pode ser qualquer número real.
Então, da equação :
Agora, substituímos e nas equações originais para encontrar e .
Usando a primeira equação:
Simplificando:

Passo 6

Vamos usar a terceira equação para encontrar outra relação:
3x + 2y + 2w = 3
Substituindo 3(1 - 2t) + 2y + 2w = 3 3 - 6t + 2y + 2w = 3 2y + 2w = 6t y + w = 3t :
Vemos que essa equação é a mesma que encontramos anteriormente. Isso confirma que temos infinitas soluções dependendo do valor de .

Resposta

As soluções do sistema para x = 1 - 2t y = 3t - w z = t w é livre (pode ser qualquer número real) e são:
éú
Onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados